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ChineseRemainder[{r1,r2,…},{m1,m2,…}]

すべての整数合同式 を満たす の最小の を与える．

ChineseRemainder[{r1,r2,…},{m1,m2,…},d]

整数合同式 を満たす の最小の を与える．

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ChineseRemainder

ChineseRemainder[{r1,r2,…},{m1,m2,…}]

すべての整数合同式 を満たす の最小の を与える．

ChineseRemainder[{r1,r2,…},{m1,m2,…},d]

整数合同式 を満たす の最小の を与える．

詳細

  • についての解が存在しない場合，ChineseRemainderは未評価のまま返される． »
  • すべてが0≤ri<miであれば，結果は を満たす．
  • ChineseRemainder[{r1,r2,…},{m1,m2,…}]はのときの の解を与える． »
  • ChineseRemainder[{r1,r2,…},{m1,m2,…},d]は のときの の解を与える． »

例題

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例  (2)

とを満たす最小の非負の整数 ：

Wolfram Language code: ChineseRemainder[{3, 4}, {4, 5}]

TemplateBox[{x, {{, {3, ,, 5, ,, 7}, }}}, Mod]がを与える最小の非負の整数 を求める：

Wolfram Language code: ChineseRemainder[{2, 3, 5}, {3, 5, 7}]

結果を確かめる：

Wolfram Language code: Mod[68, {3, 5, 7}]

スコープ  (1)

中国剰余問題に対する最小の非負の整数解を求める：

Wolfram Language code: ChineseRemainder[{1, 2, 3}, {4, 5, 6}]

を満たす最小の解 を求める：

Wolfram Language code: ChineseRemainder[{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, 100]

アプリケーション  (3)

データベースの暗号化と復号化：

Wolfram Language code: data = {931074546, 117172357, 482333642, 199386034, 394354985}

キーの生成：

Wolfram Language code: keys = RandomPrime[{10 ^ 9, 10 ^ 12}, 5]

暗号化されたデータ：

Wolfram Language code: encrypted = ChineseRemainder[data, keys]

復号化：

Wolfram Language code: Mod[encrypted, keys]

剰余数系の定義：

Wolfram Language code: m = {Prime[100], Prime[101], Prime[102], Prime[103]};

剰余形における数とその表示：

Wolfram Language code: n1 = 123456787; n2 = 123;
Wolfram Language code: n1r = Mod[n1, m]
Wolfram Language code: n2r = Mod[n2, m]

剰余系における乗算と回復：

Wolfram Language code: ChineseRemainder[n1r n2r, m]
Wolfram Language code: n1 n2

加算と回復：

Wolfram Language code: ChineseRemainder[n1r + n2r, m]
Wolfram Language code: n1 + n2

行列式のモジュラ計算：

Wolfram Language code: a = {{12, 13}, {14, 15}};

モジュラ行列式：

Wolfram Language code: d1 = Det[a, Modulus -> 5]
Wolfram Language code: d2 = Det[a, Modulus -> 7]

結果を回復する：

Wolfram Language code: ChineseRemainder[{d1, d2}, {5, 7}]

剰余が対称になるようにシフトする：

Wolfram Language code: Mod[33, 5 7, (-5 7 + 1) / 2]
Wolfram Language code: Det[a]

特性と関係  (4)

ChineseRemainder[{r1,r2,…},{r1,r2,…}]は0を返す：

Wolfram Language code: ChineseRemainder[{2, 3, 4}, {2, 3, 4}]

解は存在しなくてもよい．その場合，ChineseRemainderは未評価で返される：

Wolfram Language code: ChineseRemainder[{2, 8, 9, 10, 2}, {7, 8, 3, 4, 10}]
Wolfram Language code: ChineseRemainder[{2, 8, 9, 10, 2}, {7, 8, 3, 4, 10}, 3]

ChineseRemainder[{r1,r2,…},{m1,m2,…}]が解 n を与えるなら，である：

Wolfram Language code: DeleteCases[Table[{remainders, mods} = RandomInteger[{1, 10}, {2, 5}]; 0 <= ChineseRemainder[remainders, mods] <= LCM@@mods, {1000}], _LessEqual]//Union

ChineseRemainder[{r1,r2,…},{m1,m2,…},d]は， の解を与える：

Wolfram Language code: DeleteCases[Table[{remainders, mods} = RandomInteger[{1, 10}, {2, 5}]; 100 <= ChineseRemainder[remainders, mods, 100] <= LCM@@mods + 100, {1000}], _LessEqual]//Quiet//Union

ReduceまたはFindInstanceを使って合同方程式を解く：

Wolfram Language code: Reduce[{Mod[x, 3] == 1, Mod[x, 5] == 2}, x, Integers]
Wolfram Language code: FindInstance[{Mod[x, 3] == 1, Mod[x, 5] == 2}, x, Integers]
Wolfram Language code: ChineseRemainder[{1, 2}, {3, 5}]

考えられる問題  (1)

すべての合同方程式に解がある訳ではない：

Wolfram Language code: ChineseRemainder[{1, 2}, {2 3, 2 5}]

Mod[ri,GCD[m1,m2,…]]==Mod[rj,GCD[m1,m2,…]]のときに解が存在する：

Wolfram Language code: Mod[1, GCD[2 3, 2 5]] == Mod[2, GCD[2 3, 2 5]]
Wolfram Research (2007), ChineseRemainder, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/ChineseRemainder.html （2016年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (2007), ChineseRemainder, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/ChineseRemainder.html （2016年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 2007. "ChineseRemainder." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2016. https://reference.wolfram.com/language/ref/ChineseRemainder.html.

APA

Wolfram Language. (2007). ChineseRemainder. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/ChineseRemainder.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_chineseremainder, author="Wolfram Research", title="{ChineseRemainder}", year="2016", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/ChineseRemainder.html}", note=[Accessed: 08-September-2026]}

BibLaTeX

@online{reference.wolfram_2026_chineseremainder, organization={Wolfram Research}, title={ChineseRemainder}, year={2016}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/ChineseRemainder.html}, note=[Accessed: 08-September-2026]}