WOLFRAM

Wolfram 语言与系统参考资料中心

ChineseRemainder[{r1,r2,…},{m1,m2,…}]

给出满足所有整数同余式 的最小的 ().

ChineseRemainder[{r1,r2,…},{m1,m2,…},d]

给出满足所有整数同余式 的的最小的 ().

更多信息
Details and Options Details and Options
范例  
基本范例  
范围  
应用  
属性和关系  
可能存在的问题  
参见
技术笔记
相关指南
历史
按以下格式引用：

ChineseRemainder

ChineseRemainder[{r1,r2,…},{m1,m2,…}]

给出满足所有整数同余式 的最小的 ().

ChineseRemainder[{r1,r2,…},{m1,m2,…},d]

给出满足所有整数同余式 的的最小的 ().

更多信息

范例

打开所有单元 关闭所有单元

基本范例  (2)

满足 和 的最小非负整数 ：

Wolfram Language code: ChineseRemainder[{3, 4}, {4, 5}]

求最小的非负整数 ，使得 TemplateBox[{x, {{, {3, ,, 5, ,, 7}, }}}, Mod] 给出 ：

Wolfram Language code: ChineseRemainder[{2, 3, 5}, {3, 5, 7}]

验证结果：

Wolfram Language code: Mod[68, {3, 5, 7}]

范围  (1)

求中国剩余定理问题的最小非负整数解：

Wolfram Language code: ChineseRemainder[{1, 2, 3}, {4, 5, 6}]

求满足 的最小解 ：

Wolfram Language code: ChineseRemainder[{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, 100]

应用  (3)

数据库加密和解密：

Wolfram Language code: data = {931074546, 117172357, 482333642, 199386034, 394354985}

生成密钥：

Wolfram Language code: keys = RandomPrime[{10 ^ 9, 10 ^ 12}, 5]

加密的数据：

Wolfram Language code: encrypted = ChineseRemainder[data, keys]

解密：

Wolfram Language code: Mod[encrypted, keys]

定义一个余数系统：

Wolfram Language code: m = {Prime[100], Prime[101], Prime[102], Prime[103]};

余数系统中的数字及其表示法：

Wolfram Language code: n1 = 123456787; n2 = 123;
Wolfram Language code: n1r = Mod[n1, m]
Wolfram Language code: n2r = Mod[n2, m]

余数系统中的乘法和恢复：

Wolfram Language code: ChineseRemainder[n1r n2r, m]
Wolfram Language code: n1 n2

加法和恢复：

Wolfram Language code: ChineseRemainder[n1r + n2r, m]
Wolfram Language code: n1 + n2

一个行列式的模数计算：

Wolfram Language code: a = {{12, 13}, {14, 15}};

模数行列式：

Wolfram Language code: d1 = Det[a, Modulus -> 5]
Wolfram Language code: d2 = Det[a, Modulus -> 7]

恢复结果：

Wolfram Language code: ChineseRemainder[{d1, d2}, {5, 7}]

变换余数成对称的：

Wolfram Language code: Mod[33, 5 7, (-5 7 + 1) / 2]
Wolfram Language code: Det[a]

属性和关系  (4)

ChineseRemainder[{r1,r2,…},{r1,r2,…}] 给出零：

Wolfram Language code: ChineseRemainder[{2, 3, 4}, {2, 3, 4}]

解不一定存在，在这种情况下，ChineseRemainder 返回未计算的结果：

Wolfram Language code: ChineseRemainder[{2, 8, 9, 10, 2}, {7, 8, 3, 4, 10}]
Wolfram Language code: ChineseRemainder[{2, 8, 9, 10, 2}, {7, 8, 3, 4, 10}, 3]

如果 ChineseRemainder[{r1,r2,…},{m1,m2,…}] 给出解 n，则 ：

Wolfram Language code: DeleteCases[Table[{remainders, mods} = RandomInteger[{1, 10}, {2, 5}]; 0 <= ChineseRemainder[remainders, mods] <= LCM@@mods, {1000}], _LessEqual]//Union

当 时，ChineseRemainder[{r1,r2,…},{m1,m2,…},d] 给出解：

Wolfram Language code: DeleteCases[Table[{remainders, mods} = RandomInteger[{1, 10}, {2, 5}]; 100 <= ChineseRemainder[remainders, mods, 100] <= LCM@@mods + 100, {1000}], _LessEqual]//Quiet//Union

用 Reduce 或 FindInstance 解同余方程：

Wolfram Language code: Reduce[{Mod[x, 3] == 1, Mod[x, 5] == 2}, x, Integers]
Wolfram Language code: FindInstance[{Mod[x, 3] == 1, Mod[x, 5] == 2}, x, Integers]
Wolfram Language code: ChineseRemainder[{1, 2}, {3, 5}]

可能存在的问题  (1)

并不是所有的同余方程都有解：

Wolfram Language code: ChineseRemainder[{1, 2}, {2 3, 2 5}]

当 Mod[ri,GCD[m1,m2,…]]==Mod[rj,GCD[m1,m2,…]] 时解存在：

Wolfram Language code: Mod[1, GCD[2 3, 2 5]] == Mod[2, GCD[2 3, 2 5]]
Wolfram Research (2007)，ChineseRemainder，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/ChineseRemainder.html （更新于 2016 年）.

文本

Wolfram Research (2007)，ChineseRemainder，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/ChineseRemainder.html （更新于 2016 年）.

CMS

Wolfram 语言. 2007. "ChineseRemainder." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2016. https://reference.wolfram.com/language/ref/ChineseRemainder.html.

APA

Wolfram 语言. (2007). ChineseRemainder. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/ChineseRemainder.html 年

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_chineseremainder, author="Wolfram Research", title="{ChineseRemainder}", year="2016", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/ChineseRemainder.html}", note=[Accessed: 08-September-2026]}

BibLaTeX

@online{reference.wolfram_2026_chineseremainder, organization={Wolfram Research}, title={ChineseRemainder}, year={2016}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/ChineseRemainder.html}, note=[Accessed: 08-September-2026]}