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ClebschGordan[{j1,m1},{j2,m2},{j,m}]

からへの分解に対する，クレプシュ・ゴルダン(Clebsch–Gordan)係数を与える

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ClebschGordan

ClebschGordan[{j1,m1},{j2,m2},{j,m}]

からへの分解に対する，クレプシュ・ゴルダン(Clebsch–Gordan)係数を与える

詳細

  • クレプシュ・ゴルダン係数は，と三角不等式を満足させるを除いて削除される．
  • ClebschGordanのパラメータとして，整数，2分の1の倍数，そしてシンボルが使われる．
  • Wolfram言語では，クレプシュ・ゴルダン係数の位相には，エドモンド法表記が使われる．
  • Wolfram言語のクレプシュ・ゴルダン係数と3‐ シンボルはの関係を満足する．

例題

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例  (2)

クレプシュ・ゴルダン係数を整数引数で評価する：

Wolfram Language code: ClebschGordan[{5, 0}, {4, 0}, {1, 0}]

記号引数を使って厳密な記号的答を得る：

Wolfram Language code: ClebschGordan[{5, 0}, {4, m}, {1, 0}]

スコープ  (2)

ClebschGordanは整数と半整数の引数を取ることができる：

Wolfram Language code: ClebschGordan[{1 / 2, -1 / 2}, {1 / 2, -1 / 2}, {1, -1}]
Wolfram Language code: ClebschGordan[{1 / 2, -1 / 2}, {1, 0}, {1 / 2, -1 / 2}]

記号入力についてClebschGordanを評価するとThreeJSymbolになる：

Wolfram Language code: ClebschGordan[{j, m}, {j1, m1}, {j2, m2}]

アプリケーション  (3)

クレプシュ・ゴルダン係数を と の関数としてプロットする：

Wolfram Language code: ListPlot3D[Table[ClebschGordan[{10, m1}, {20, m2}, {30, m1 + m2}], {m1, -10, 10}, {m2, -20, 20}]]

球面調和関数を2つの球面調和関数の積の和に分解する：

Wolfram Language code: With[{j = 5, m = 3, j1 = 2, j2 = 3}, Sqrt[(4 π (2 j + 1)/(2 j1 + 1) (2 j2 + 1))] Underoverscript[∑, m1 = -j1, j1]Underoverscript[∑, m2 = -j2, j2]KroneckerDelta[m1 + m2 - m] ClebschGordan[{j1, m1}, {j2, m2}, {j, m1 + m2}] SphericalHarmonicY[j1, m1, θ, ϕ] SphericalHarmonicY[j2, m2, θ, ϕ] == ClebschGordan[{j1, 0}, {j2, 0}, {j, 0}] SphericalHarmonicY[j, m, θ, ϕ]]
Wolfram Language code: Simplify[%]

角運動量演算子を球面調和関数に適用する：

Wolfram Language code: ℒ[-1][θ_, ϕ_] := -1 / Sqrt[2]Exp[-I ϕ]( Subscript[∂, θ]#1 - I Cot[θ]Subscript[∂, ϕ]#1)& ℒ[0][θ_, ϕ_] := -I Subscript[∂, ϕ]#1& ℒ[+1][θ_, ϕ_] := -1 / Sqrt[2]Exp[I ϕ]( Subscript[∂, θ]#1 + I Cot[θ]Subscript[∂, ϕ]#1)&
Wolfram Language code: With[{j = 5, m = 3}, Table[ ℒ[μ][θ, ϕ] @ SphericalHarmonicY[j, m, θ, ϕ] == Sqrt[j(j + 1)]ClebschGordan[{j, m}, {1, μ}, {j, m + μ}]SphericalHarmonicY[j, m + μ, θ, ϕ], {μ, -1, 1}]] // Simplify

特性と関係  (2)

ClebschGordanの完全に記号的な場合を評価する：

Wolfram Language code: ClebschGordan[{j1, m1}, {j2, m2}, {j1 + j2, m1 + m2}]

和の直交性を分解する：

Wolfram Language code: With[{j1 = 3, j2 = 2}, Table[Sum[If[Abs[m1 + m2] > j || Abs[m1 + m2] > ji, 0, ClebschGordan[{j1, m1}, {j2, m2}, {j, m1 + m2}]ClebschGordan[{j1, m1}, {j2, m2}, {ji, m1 + m2}]], {m1, -j1, j1}, {m2, -j2, j2}], {j, Abs[j1 - j2], j1 + j2}, {ji, Abs[j1 - j2], j1 + j2}]]//MatrixForm

考えられる問題  (1)

の場合には，メッセージが出力され，0という結果が返される：

Wolfram Language code: ClebschGordan[{2, 1}, {2, 4}, {4, 2}]

おもしろい例題  (1)

クレプシュ・ゴルダン係数によって形成された等高線を可視化する：

Wolfram Language code: With[{λ = 3}, ListContourPlot3D[N@Table[If[Abs[m1] ≥ λ || Abs[m2] ≥ λ || Abs[m1 + m2] ≥ j, 0, ClebschGordan[{λ, m1}, {λ, m2}, {j, m1 + m2}]], {j, 0, 2λ}, {m1, -λ, λ}, {m2, -λ, λ}]]]
Wolfram Research (1991), ClebschGordan, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/ClebschGordan.html.

テキスト

Wolfram Research (1991), ClebschGordan, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/ClebschGordan.html.

CMS

Wolfram Language. 1991. "ClebschGordan." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/ClebschGordan.html.

APA

Wolfram Language. (1991). ClebschGordan. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/ClebschGordan.html

BibTeX

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BibLaTeX

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