WOLFRAM

Wolfram 语言与系统参考资料中心

ClebschGordan[{j1,m1},{j2,m2},{j,m}]

给出以 的形式分解 所得的克莱布什－高登系数.

更多信息
Details and Options Details and Options
范例  
基本范例  
范围  
应用  
属性和关系  
可能存在的问题  
巧妙范例  
参见
技术笔记
相关指南
相关链接
历史
按以下格式引用：

ClebschGordan

ClebschGordan[{j1,m1},{j2,m2},{j,m}]

给出以 的形式分解 所得的克莱布什－高登系数.

更多信息

  • Clebsch–Gordan系数只有在 和 满足三角不等式时不等于零.
  • ClebschGordan 的参数可以是整数、半整数或符号表达式.
  • Wolfram 语言对于克莱布什－高登系数的相位使用标准的 Edmonds 规范.
  • Wolfram 语言中的克莱布什－高登系数和 3‐ 符号满足以下关系式 .

范例

打开所有单元 关闭所有单元

基本范例  (2)

用整数参数计算克莱布什－高登系数：

Wolfram Language code: ClebschGordan[{5, 0}, {4, 0}, {1, 0}]

利用符号自变量得到确切的符号答案：

Wolfram Language code: ClebschGordan[{5, 0}, {4, m}, {1, 0}]

范围  (2)

ClebschGordan 可用于整数和半整数：

Wolfram Language code: ClebschGordan[{1 / 2, -1 / 2}, {1 / 2, -1 / 2}, {1, -1}]
Wolfram Language code: ClebschGordan[{1 / 2, -1 / 2}, {1, 0}, {1 / 2, -1 / 2}]

对于符号输入，ClebschGordan 的计算结果用 ThreeJSymbol 表示：

Wolfram Language code: ClebschGordan[{j, m}, {j1, m1}, {j2, m2}]

应用  (3)

描绘作为 和 的函数的 Clebsch–Gordan 系数：

Wolfram Language code: ListPlot3D[Table[ClebschGordan[{10, m1}, {20, m2}, {30, m1 + m2}], {m1, -10, 10}, {m2, -20, 20}]]

把一个球谐函数分解成为两个球谐函数的乘积之和：

Wolfram Language code: With[{j = 5, m = 3, j1 = 2, j2 = 3}, Sqrt[(4 π (2 j + 1)/(2 j1 + 1) (2 j2 + 1))] Underoverscript[∑, m1 = -j1, j1]Underoverscript[∑, m2 = -j2, j2]KroneckerDelta[m1 + m2 - m] ClebschGordan[{j1, m1}, {j2, m2}, {j, m1 + m2}] SphericalHarmonicY[j1, m1, θ, ϕ] SphericalHarmonicY[j2, m2, θ, ϕ] == ClebschGordan[{j1, 0}, {j2, 0}, {j, 0}] SphericalHarmonicY[j, m, θ, ϕ]]
Wolfram Language code: Simplify[%]

将角动量算子应用到球谐函数中：

Wolfram Language code: ℒ[-1][θ_, ϕ_] := -1 / Sqrt[2]Exp[-I ϕ]( Subscript[∂, θ]#1 - I Cot[θ]Subscript[∂, ϕ]#1)& ℒ[0][θ_, ϕ_] := -I Subscript[∂, ϕ]#1& ℒ[+1][θ_, ϕ_] := -1 / Sqrt[2]Exp[I ϕ]( Subscript[∂, θ]#1 + I Cot[θ]Subscript[∂, ϕ]#1)&
Wolfram Language code: With[{j = 5, m = 3}, Table[ ℒ[μ][θ, ϕ] @ SphericalHarmonicY[j, m, θ, ϕ] == Sqrt[j(j + 1)]ClebschGordan[{j, m}, {1, μ}, {j, m + μ}]SphericalHarmonicY[j, m + μ, θ, ϕ], {μ, -1, 1}]] // Simplify

属性和关系  (2)

计算 ClebschGordan 的全符号情况：

Wolfram Language code: ClebschGordan[{j1, m1}, {j2, m2}, {j1 + j2, m1 + m2}]

论证 ‐和数正交性：

Wolfram Language code: With[{j1 = 3, j2 = 2}, Table[Sum[If[Abs[m1 + m2] > j || Abs[m1 + m2] > ji, 0, ClebschGordan[{j1, m1}, {j2, m2}, {j, m1 + m2}]ClebschGordan[{j1, m1}, {j2, m2}, {ji, m1 + m2}]], {m1, -j1, j1}, {m2, -j2, j2}], {j, Abs[j1 - j2], j1 + j2}, {ji, Abs[j1 - j2], j1 + j2}]]//MatrixForm

可能存在的问题  (1)

当 时，生成一则信息，并返回结果 0 ：

Wolfram Language code: ClebschGordan[{2, 1}, {2, 4}, {4, 2}]

巧妙范例  (1)

可视化由克莱布什－高登系数构建的等高线：

Wolfram Language code: With[{λ = 3}, ListContourPlot3D[N@Table[If[Abs[m1] ≥ λ || Abs[m2] ≥ λ || Abs[m1 + m2] ≥ j, 0, ClebschGordan[{λ, m1}, {λ, m2}, {j, m1 + m2}]], {j, 0, 2λ}, {m1, -λ, λ}, {m2, -λ, λ}]]]
Wolfram Research (1991)，ClebschGordan，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/ClebschGordan.html.

文本

Wolfram Research (1991)，ClebschGordan，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/ClebschGordan.html.

CMS

Wolfram 语言. 1991. "ClebschGordan." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/ClebschGordan.html.

APA

Wolfram 语言. (1991). ClebschGordan. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/ClebschGordan.html 年

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_clebschgordan, author="Wolfram Research", title="{ClebschGordan}", year="1991", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/ClebschGordan.html}", note=[Accessed: 13-September-2026]}

BibLaTeX

@online{reference.wolfram_2026_clebschgordan, organization={Wolfram Research}, title={ClebschGordan}, year={1991}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/ClebschGordan.html}, note=[Accessed: 13-September-2026]}