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CoulombH2[l,η,r]

非正則入りクーロン(Coulomb)波動関数 TemplateBox[{l, eta, r}, CoulombH2]を与える．

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CoulombH2

CoulombH2[l,η,r]

非正則入りクーロン(Coulomb)波動関数 TemplateBox[{l, eta, r}, CoulombH2]を与える．

詳細

  • 記号操作・数値操作の両方に適した数学関数である．
  • CoulombH2[l,η,r]は常微分方程式 の解である．
  • CoulombH2[l,η,r]は，大きい についてと比例する．
  • CoulombH2[l,η,r]は に確定特異点を持つ．
  • CoulombH2はからの複素 平面に不連続な分枝切断線を持つ．
  • CoulombH2を特定の特別な引数について評価すると自動的に厳密値になる．
  • CoulombH2は任意の数値精度で評価できる．
  • CoulombH2は自動的にリストに縫い込まれる．
  • CoulombH2はCenteredIntervalオブジェクトに使うことができる． »

例題

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例  (4)

数値的に評価する：

Wolfram Language code: CoulombH2[2, 0.2, 3.]

任意精度で評価する：

Wolfram Language code: N[CoulombH2[3, 2, 5], 25]

CoulombH2はCoulombG関数とCoulombF関数の線形結合である：

Wolfram Language code: CoulombH2[3, 4 + I, 0.8]
Wolfram Language code: CoulombG[3, 4 + I, 0.8] - I CoulombF[3, 4 + I, 0.8]

複素数プロット：

Wolfram Language code: ComplexPlot[CoulombH2[3 / 2, 2, z], {z, -3 - 3I, 3 + 3I}]

大きい半径での漸近動作：

Wolfram Language code: Asymptotic[CoulombH2[ℓ, η, r], r -> ∞]//TrigToExp

スコープ  (19)

数値評価  (5)

数値的に評価する：

Wolfram Language code: N[CoulombH2[1 / 2, 7, 1]]
Wolfram Language code: N[CoulombH2[1 / 2, -7, 1]]

高精度で評価する：

Wolfram Language code: N[CoulombH2[1, 7, 1], 50]

出力精度は入力精度に従う：

Wolfram Language code: CoulombH2[-2 / 5, -3, 1.23456789101112131415]
Wolfram Language code: CoulombH2[-2 / 5, -3, 1.2345678910111213141516171819202122]

複素数入力：

Wolfram Language code: CoulombH2[2 / 3, 0.7 + 0.1 I, 3.2]

高精度で効率的に評価する：

Wolfram Language code: CoulombH2[11, -3, 70`100]//NumberForm[#, 20]&//Timing
Wolfram Language code: CoulombH2[11, -3, 70`1000]//NumberForm[#, 20]&//Timing

CoulombH2はCenteredIntervalオブジェクトに使うことができる：

Wolfram Language code: CoulombH2[CenteredInterval[3 / 4, 10 ^ -6], CenteredInterval[5 / 6, 10 ^ -6], CenteredInterval[7 / 8, 10 ^ -6]]

特別な値  (4)

原点における極限値：

Wolfram Language code: Limit[CoulombH2[1, 1, r], r -> 0]//FullSimplify

特別なパラメータについての記号評価：

Wolfram Language code: CoulombH2[0, 0, r]

CoulombH2は，パラメータ η の値が0のときは球ハンケル(Hankel)関数に簡約される：

Wolfram Language code: CoulombH2[n, 0, r]

CoulombH2の実部の最初の正の零点を求める：

Wolfram Language code: rzero = r /. FindRoot[Re[CoulombH2[0, 3, r]], {r, 9}]//Quiet
Wolfram Language code: Plot[Re[CoulombH2[0, 3, r]], {r, 0, 20}, Epilog -> Style[Point[{rzero, Re[CoulombH2[0, 3, rzero]]}], PointSize[Large], Red]]

可視化  (2)

CoulombH2の実部と虚部をプロットする：

Wolfram Language code: ReImPlot[CoulombH2[2, 0, x], {x, 0, 4π}]

TemplateBox[{2, 0, z}, CoulombH2]の実部をプロットする：

Wolfram Language code: ComplexContourPlot[Re[CoulombH2[2, 0, z]], {z, -2π - π I, 2π + π I}, IconizedObject[«PlotOptions»]]

TemplateBox[{2, 0, z}, CoulombH2]の虚部をプロットする：

Wolfram Language code: ComplexContourPlot[Im[CoulombH2[2, 0, z]], {z, -2π - π I, 2π + π I}, IconizedObject[«PlotOptions»]]

関数の特性  (6)

CoulombH2の定義域：

Wolfram Language code: FunctionDomain[CoulombH2[n, η, x], x]
Wolfram Language code: FunctionDomain[CoulombH2[n, η, z], z, Complexes]

CoulombH2[2,0,x]は複素数上で単射ではない：

Wolfram Language code: FunctionInjective[CoulombH2[2, 0, x], x, Complexes]
Wolfram Language code: Plot[{Im[CoulombH2[2, 0, x]], 1 / 2}, {x, -4π, 4π}]

CoulombH2[2,0,x]は非負でも非正でもない：

Wolfram Language code: FunctionSign[CoulombH2[2, 0, x], x]

CoulombH2[2,0,x]は特異点と不連続点の両方を持つ：

Wolfram Language code: FunctionSingularities[CoulombH2[2, 0, x], x]
Wolfram Language code: FunctionDiscontinuities[CoulombH2[2, 0, x], x]

CoulombH2は凸でも凹でもない：

Wolfram Language code: FunctionConvexity[CoulombH2[2, 0, x], x]

TraditionalFormによる表示：

Wolfram Language code: CoulombH2[n, η, z]//TraditionalForm

級数展開  (1)

Seriesを使って零点と無限大におけるテイラー(Taylor)展開を求める：

Wolfram Language code: Series[CoulombH1[1, 2, x], {x, 0, 2}]//FullSimplify
Wolfram Language code: Series[CoulombH1[1, 2, x], {x, ∞, 3}]//FullSimplify

CoulombH1の の周りの最初の3つの近似をプロットする：

Wolfram Language code: terms = Normal@Table[Series[CoulombH1[1, 0, x], {x, 0, m}], {m, 1, 5, 2}]; ReImPlot[{CoulombH1[1, 0, x], terms}, {x, -2π, 2π}, PlotRange -> {0, 20}]

関数表現  (1)

他のクーロン関数との関係：

Wolfram Language code: (CoulombH2[``l``, η, ``r``] - CoulombH1[``l``, η, ``r``]) / 2 I//FullSimplify
Wolfram Language code: (CoulombH2[``l``, η, ``r``] + CoulombH1[``l``, η, ``r``]) / 2 //FullSimplify

特性と関係  (1)

CoulombH2は複素平面の一部の領域ではWhittakerWに比例する：

Wolfram Language code: coulombH2[el_, eta_, r_] := With[{z = 2I r, w = 1 + el - I eta}, Exp[-(LogGamma[el + 1 + I eta] - LogGamma[el + 1 - I eta]) / 2 + (eta + I el) Pi / 2]WhittakerW[I eta, el + 1 / 2, z] ]
Wolfram Language code: With[{r = 3`20}, {CoulombH2[3, 1, r], coulombH2[3, 1, r]}]

しかし，記載されている定義ではに分枝切断線を持つが，組込みのCoulombH2はに分枝切断線を持つ：

Wolfram Language code: {Labeled[ComplexPlot[CoulombH1[4 / 3, 1, r], {r, -3 - 3I, 3 + 3I}], "built-in"], Labeled[ComplexPlot[coulombH2[4 / 3, 1, r], {r, -3 - 3I, 3 + 3I}], "alternative"]}
Wolfram Research (2021), CoulombH2, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/CoulombH2.html （2023年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (2021), CoulombH2, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/CoulombH2.html （2023年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 2021. "CoulombH2." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2023. https://reference.wolfram.com/language/ref/CoulombH2.html.

APA

Wolfram Language. (2021). CoulombH2. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/CoulombH2.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_coulombh2, author="Wolfram Research", title="{CoulombH2}", year="2023", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/CoulombH2.html}", note=[Accessed: 19-July-2026]}

BibLaTeX

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