DawsonF

DawsonF[z]

ドーソン(Dawson)の積分を与える．

詳細

記号操作・数値操作の両方に適した数学関数である．
ドーソンの積分は $TemplateBox[{z}, DawsonF]=e^(-z^2) int_0^ze^(t^2)dt$ で定義される．
特別な引数の場合，DawsonFは自動的に厳密値を計算する．
DawsonFは任意の数値精度で数値的に評価することができる．
DawsonFは自動的にリストに縫い込まれる．
DawsonFはIntervalオブジェクトおよびCenteredIntervalオブジェクトに使うことができる． »

例題

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例 (5)

数値的に評価する：

Wolfram Language code: DawsonF[2.5]

実数の部分集合上でプロットする：

Wolfram Language code: Plot[DawsonF[x], {x, -10, 10}]

複素数の部分集合上でプロットする：

Wolfram Language code: ComplexPlot3D[DawsonF[z], {z, -2 - 2I, 2 + 2I}, PlotLegends -> Automatic]

原点付近の級数展開：

Wolfram Language code: Series[DawsonF[x], {x, 0, 10}]

Infinityにおける漸近展開：

Wolfram Language code: Series[DawsonF[x], {x, ∞, 5}]//Normal//FullSimplify

スコープ (33)

数値評価 (6)

数値的に評価する：

Wolfram Language code: N[DawsonF[1 / E]]

Wolfram Language code: DawsonF[-.46]

高精度で評価する：

Wolfram Language code: N[DawsonF[4 / 3], 50]

出力精度は入力精度に従う：

Wolfram Language code: DawsonF[1.11111111111111111111111]

複素数入力：

Wolfram Language code: N[DawsonF[I Pi + 5]]

高精度で効率的に評価する：

Wolfram Language code: DawsonF[.9`100]//Timing

Wolfram Language code: DawsonF[58.`10000];//Timing

IntervalオブジェクトとCenteredIntervalオブジェクトを使って最悪の場合に保証される区間を計算する：

Wolfram Language code: DawsonF[Interval[{0.5, 0.6}]]

Wolfram Language code: DawsonF[CenteredInterval[1 / 2, 1 / 100]]

Aroundを使って平均的な場合の統計区間を計算することもできる：

Wolfram Language code: DawsonF[ Around[2.1, 0.01]]

配列の要素ごとの値を計算する：

Wolfram Language code: DawsonF[{{1.2, 0}, {0, -1.2}}]

MatrixFunctionを使って行列のDawsonF関数を計算することもできる：

Wolfram Language code: MatrixFunction[DawsonF, {{1.2, 0}, {0, -1.2}}]

特定の値 (3)

簡単な厳密値は自動的に生成される：

Wolfram Language code: DawsonF[0]

無限大における極限値：

Wolfram Language code: {Limit[DawsonF[x], x -> Infinity], Limit[DawsonF[x], x -> -Infinity]}

DawsonF[x]の正の最大値を求める：

Wolfram Language code: xmax = x /. FindRoot[D[DawsonF[x ], x] == 0, {x, 1}]

Wolfram Language code: Plot[DawsonF[x ], {x, -5, 5}, Epilog -> Style[Point[{xmax, DawsonF[xmax ]}], PointSize[Large], Red]]

可視化 (2)

DawsonF関数をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[DawsonF[x], {x, -10, 10}]

DawsonFの実部をプロットする：

Wolfram Language code: ComplexContourPlot[Re[DawsonF[z]], {z, -4 - 4 I, 4 + 4 I}, Contours -> 20]

DawsonFの虚部をプロットする：

Wolfram Language code: ComplexContourPlot[Im[DawsonF[z]], {z, -4 - 4 I, 4 + 4 I}, Contours -> 20]

関数の特性 (11)

DawsonFはすべての実数値と虚数値について定義される：

Wolfram Language code: FunctionDomain[DawsonF[x], x]

Wolfram Language code: FunctionDomain[DawsonF[z], z, Complexes]

DawsonFの値域を近似する：

Wolfram Language code: FunctionRange[DawsonF[x], x, y]//Quiet

DawsonFは奇関数である：

Wolfram Language code: DawsonF[-x]

DawsonF は鏡特性を持つ：

Wolfram Language code: FullSimplify[DawsonF[Conjugate[z]] == Conjugate[DawsonF[z]]]

DawsonFは要素単位でリストに縫い込まれる：

Wolfram Language code: DawsonF[{1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0}]

DawsonFは x の解析関数である：

Wolfram Language code: FunctionAnalytic[DawsonF[x], x]

特異点も不連続点も持たない：

Wolfram Language code: FunctionSingularities[DawsonF[x], x]//Quiet

Wolfram Language code: FunctionDiscontinuities[DawsonF[x], x]//Quiet

DawsonFは非減少でも非増加でもない：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[DawsonF[x], x]

DawsonFは単射ではない：

Wolfram Language code: FunctionInjective[DawsonF[x], x]

Wolfram Language code: Plot[{DawsonF[x], .2}, {x, -10, 10}]

DawsonFは全射ではない：

Wolfram Language code: FunctionSurjective[DawsonF[x], x]

Wolfram Language code: Plot[{DawsonF[x], -1}, {x, -10, 10}]

DawsonFは非負でも非正でもない：

Wolfram Language code: FunctionSign[DawsonF[x], x]

DawsonFは凸でも凹でもない：

Wolfram Language code: FunctionConvexity[DawsonF[x], x]

微分 (3)

z についての一次導関数：

Wolfram Language code: D[DawsonF[z], z]

z についての高次導関数：

Wolfram Language code: Table[D[DawsonF[z], {z, k}], {k, 1, 3}]//FullSimplify

z についての高次導関数をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[%, {z, -4, 4}, PlotLegends -> {"First Derivative", "Second Derivative", "Third Derivative"}]

についての次導関数の式：

Wolfram Language code: D[DawsonF[z], {z, k}]// FullSimplify

積分 (3)

Integrateを使って不定積分を計算する：

Wolfram Language code: Integrate[DawsonF[x], x]// FullSimplify

不定積分を確かめる：

Wolfram Language code: FullSimplify[D[%, x]]// FullSimplify

定積分：

Wolfram Language code: Integrate[DawsonF[x], {x, 0, 15}]

その他の積分例：

Wolfram Language code: Integrate[DawsonF[x] x ^ a, x]// FullSimplify

Wolfram Language code: Integrate[DawsonF[x + a] x, x]// FullSimplify

級数展開 (5)

Seriesを使ってテイラー(Taylor)展開を求める：

Wolfram Language code: Series[DawsonF[x], {x, 0, 10}]

の周りの最初の3つの近似をプロットする：

Wolfram Language code:

terms = Normal@Table[Series[DawsonF[x], {x, 0, m}], {m, 1, 5, 2}];
Plot[{DawsonF[x], terms}, {x, -5, 5}, PlotRange -> {-10, 10}]

SeriesCoefficientを使った級数展開における一般項：

Wolfram Language code: SeriesCoefficient[DawsonF[x], {x, 1, n}]

Infinityにおける級数展開を求める：

Wolfram Language code: Series[DawsonF[x], {x, Infinity, 1}]

任意の記号的な方向についての級数展開を求める：

Wolfram Language code: Series[DawsonF[x], {x, DirectedInfinity[z], 1}, Assumptions -> x > 0]// FullSimplify

生成点におけるテイラー展開：

Wolfram Language code: Series[DawsonF[x], {x, x0, 2}]// FullSimplify

一般化と拡張 (2)

DawsonFはベキ級数に適用できる：

Wolfram Language code: DawsonF[ Log[1 + x] + O[x] ^ 10]

無限引数は記号的な結果を与える：

Wolfram Language code: DawsonF[{-Infinity, Infinity, I Infinity, -I Infinity}]

アプリケーション (3)

ドーソン関数の最大値の値と位置を求める：

Wolfram Language code: FindMaximum[DawsonF[x], {x, 1}]

確率密度関数をドーソン関数で表す：

Wolfram Language code: 𝒟 = TransformedDistribution[u ^ 2 + 3v, {u, v} ProductDistribution[{ExponentialDistribution[3], 2}]];

Wolfram Language code: PDF[𝒟, x]

DawsonFは，切断ガウス分布のフーリエ変換に現れる：

Wolfram Language code: ft = FourierTransform[Exp[-x^2]UnitStep[x], x, ω]

変換を可視化する：

Wolfram Language code: ComplexPlot3D[Evaluate[ft], {ω, -10 - 10I, 10 + 0I}, ScalingFunctions -> "Log"]

特性と関係 (1)

FunctionExpandを使って虚数誤差関数についてDawsonFを展開する：

Wolfram Language code: FunctionExpand[DawsonF[x]]

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