DiscreteMaxLimit

DiscreteMaxLimit[f,k∞]

给出序列 f[k] 当 k 在整数上趋近于 ∞ 时的最大极限 _k∞f(k).

DiscreteMaxLimit[f,{k₁,…,k_n}]

给出整数上的嵌套最大极限 ⋯ f(k₁,…,k_n).

DiscreteMaxLimit[f,{k₁,…,k_n}{,…,}]

给出整数上的多变量最大极限 f(k₁,…,k_n).

更多信息和选项

DiscreteMaxLimit 亦称为 limit superior、supremum limit、limsup、upper limit 和 outer limit.
DiscreteMaxLimit 计算极限的最小上限，且总是为实值序列定义. 它通常用于给出不依赖于实际极限的收敛条件和其他渐进属性.
可用 f 来输入 DiscreteMaxLimit[f,k∞]. 可用 dMlim 来输入模板  ，用把光标从底部移动到主体.
可用 …f 来输入 DiscreteMaxLimit[f,{k₁,…,k_n}{,…,}].
的极限值为 ±∞.
最大极限被定义为最大包络序列 max[ω] 的极限：
DiscreteMaxLimit[f,k∞] DiscreteLimit[max[ω],ω∞]

DiscreteMaxLimit[f,{k₁,…,k_n}{∞,…,∞}] DiscreteLimit[max[ω],ω∞]
DiscreteMaxLimit[f[k],k-∞] 等价于 DiscreteMaxLimit[f[-l],l∞] 等.
对单变量 f[k]，定义使用最大包络 max[ω]MaxValue[{f[k],k≥ω∧k∈},k]，对多变量 f[k₁,…,k_n]，则使用 max[ω]MaxValue[{f[k₁,…,k_n],k₁≥ω∧⋯∧k_n≥ω∧k_i∈},{k₁,…,k_n}]. ω∞ 时，序列 max[ω] 单调递减，所以它总是有一个极限，可能是 ±∞.
下图中用蓝色显示 max[k] 和 max[Min[k₁,k₂]].

如果无法找到最大极限，DiscreteMaxLimit 不进行计算，直接返回.
可以给出下列选项：

Assumptions	$Assumptions	对参数的假设
GenerateConditions	Automatic	是否为参数生成条件
Method	Automatic	所用的方法
PerformanceGoal	"Quality"	优化的目标

GenerateConditions 的可能设置包括：
Automatic 只汇报非通用条件

True 汇报所有条件

False 不汇报条件

None 如果需要条件，则不进行计算，直接返回
PerformanceGoal 的可能设置包括 $PerformanceGoal、"Quality" 和 "Speed". 如果设置为 "Quality"， DiscreteMaxLimit 通常能求解更多问题或产生更简单的结果，但会需要更多时间和内存.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (4)

序列的最大极限：

乘积的最大极限：

用 dMlim 输入模板 ，用把光标从底部移动到主体：

TraditionalForm 输出：

范围 (21)

基本用法 (4)

计算当 n 趋近于 Infinity 时序列的最大极限：

计算当 n 趋近于 -Infinity 时序列的最大极限：

计算多变量序列的嵌套最大极限：

计算一系列序列的最大极限：

初等函数序列 (6)

求有理指数序列的最大极限：

收敛几何函数序列：

振荡几何函数序列：

发散振荡几何函数序列：

指数函数序列：

幂函数序列：

三角函数序列：

反三角函数序列：

对数函数序列：

周期序列 (3)

周期序列的极限：

最终周期序列：

密集非周期序列：

分段序列 (2)

最大极限为有限值的分段序列：

最大极限为无穷大值的分段序列：

周期性条件下的分段序列：

特殊函数序列 (2)

计算涉及 Fibonacci 的序列的极限：

涉及 FactorialPower 的序列：

数论函数序列 (2)

涉及 LCM 和 GCD 的极限：

涉及 Prime 的序列：

多变量序列 (2)

计算嵌套最大极限：

绘制序列和它的极限：

多变量最大极限：

选项 (6)

Assumptions (1)

指定参数的假设：

不同的假设会给出不同的结果：

GenerateConditions (3)

不陈述条件，返回结果：

只有 x>1 时结果才有效：

如果结果取决于参数的值，则不进行计算，直接返回：

默认情况下，会生成返回唯一结果的条件：

默认情况下，如果只有特殊值使结果无效，则不会生成条件：

当设置为 GenerateConditions->True 时，即便是非通用条件，也会汇报：

Method (1)

用缺省方法计算周期序列的最大极限：

用针对周期序列的方法获取同样的答案：

序列的极限没有定义，因为它在 0 和 1 之间振荡：

PerformanceGoal (1)

DiscreteMaxLimit 计算周期为任意长度的序列的极限：

用 PerformanceGoal 来避免此种花费时间较长的计算：

Method 选项会覆盖 PerformanceGoal：

应用 (7)

基本应用 (2)

计算序列的渐进上确界：

绘制序列及其渐进上确界：

验证下列序列没有极限：

证明 DiscreteMaxLimit 和 DiscreteMinLimit 不相等：

用 DiscreteLimit 确认极限不存在：

级数收敛 (4)

用比例检验法证明一般项由下式给出的无穷级数收敛：

绘制级数的部分和：

用 DiscreteRatio 计算相邻项的比：

比的序列不收敛：

但是，依然可以使用比例检验法，因为比值的上限小于 1：

用 SumConvergence 确认级数是收敛的：

计算无穷级数：

用根检验法证明一般项由下式给出的无穷级数收敛：

绘制级数的部分和：

计算一般项的第 n 个根：

根序列的极限不存在：

但是，根检验法还是表明序列是收敛的，因为最大极限小于 1：

用 SumConvergence 确认级数是收敛的：

计算无穷级数：

考虑序列：

计算复杂性 (1)

一个算法运行时间函数被认为是 "big-o of "，写作，如果 $_(n->_(TemplateBox[{}, Integers])infty) (f(n))/(g(n))<infty$ ：

同样，还被认为是 "big-theta of "，写作，如果 $_(n->_(TemplateBox[{}, Integers])infty) (f(n))/(g(n))<infty$ 和 $_(n->_(TemplateBox[{}, Integers])infty)(f(n))/(g(n))>0$ ：