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Erf
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Erf

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Erf[z]

给出误差函数 .

✖
Erf[z0,z1]

给出广义误差函数 .

更多信息

  • 数学函数，适宜于符号和数值运算.
  • Erf[z] 是高斯分布的积分，表达式为 .
  • Erf[z0,z1] 的表达式为 .
  • Erf[z] 是 z 的整函数，没有分支切割断点.
  • 对于某些特定参数，Erf 自动运算出精确值.
  • Erf 可求任意数值精度的值.
  • Erf 自动逐项作用于列表的各个元素.
  • Erf 可与 Interval 和 CenteredInterval 对象一起使用. »

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例  (5)常见实例总结

数值计算：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-gqdk4g
Out[1]=1

在实数的子集上绘图：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-g62iwn
Out[1]=1

在复数的子集上绘图：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-kiedlx
Out[1]=1

原点处的级数展开式：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-c8miyp
Out[1]=1

Infinity 处的级数展开式：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-laddhh
Out[1]=1

范围  (40)标准用法实例范围调查

数值计算  (6)

数值计算：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-l274ju
Out[1]=1

高精度计算：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-ej19ts
Out[1]=1

输出的精度和输入的精度一致：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-cbxv5v
Out[2]=2

对复变量求值：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-cammtr
Out[1]=1

在高精度条件下高效计算 Erf：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-di5gcr
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-bq2c6r
Out[2]=2

用 Interval 和 CenteredInterval 对象计算最坏情况下的区间：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-lmyeh7
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-cmr44y
Out[2]=2
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-jhj094
Out[3]=3
In[4]:=4
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-dj6d9x
Out[4]=4

或用 Around 计算一般情况下的统计区间：

In[5]:=5
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-cw18bq
Out[5]=5

计算数组中每个元素的值：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-thgd2
Out[1]=1

或用 MatrixFunction 计算矩阵形式的 Erf 函数：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-o5jpo
Out[2]=2

特殊值  (3)

自动生成简单精确值：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-e02kzi
Out[1]=1

无穷处的值：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-3v2q2
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-e60212
Out[2]=2

求 Erf 的零点：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-f2hrld
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-erz7p2
Out[2]=2

可视化  (2)

绘制 Erf 函数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-ecj8m7
Out[1]=1

绘制 的实部：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-ouu484
Out[1]=1

绘制 的虚部：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-e836u0
Out[2]=2

函数属性  (10)

Erf 是针对所有实数和复数定义的：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-cl7ele
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-de3irc
Out[2]=2

Erf 的值域为 –1 和 1 之间的所有实数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-evf2yr
Out[1]=1

Erf 是一个奇函数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-dnla5q
Out[1]=1

Erf 具有镜像属性 erf(TemplateBox[{z}, Conjugate])=TemplateBox[{{erf, (, z, )}}, Conjugate]：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-heoddu
Out[1]=1

Erf 是 x 的解析函数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-h5x4l2
Out[1]=1

函数没有奇点和断点：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-mdtl3h
Out[2]=2
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-mn5jws
Out[3]=3

Erf 非递减：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-nlz7s
Out[1]=1

Erf 是单射函数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-poz8g
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-ctca0g
Out[2]=2

Erf 不是满射函数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-cxk3a6
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-frlnsr
Out[2]=2

Erf 既不是非负，也不是非正：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-84dui
Out[1]=1

Erf 既不凸，也不凹：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-8kku21
Out[1]=1

微分  (3)

一阶导数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-mmas49
Out[1]=1

高阶导数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-nfbe0l
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-fxwmfc
Out[2]=2

n 阶导数的公式：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-odmgl1
Out[1]=1

积分  (3)

Erf 的不定积分：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-bponid
Out[1]=1

奇函数在以原点为中心的区间上的定积分为 0：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-b9jw7l
Out[1]=1

更多积分：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-de1kw
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-bz92zf
Out[2]=2
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-g5xy24
Out[3]=3

级数展开式  (4)

Erf 的泰勒展开式：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-ewr1h8
Out[1]=1

绘制 Erf 在 处的前三个近似式：

In[5]:=5
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-g19qq3
Out[6]=6

Erf 级数展开式的通项:

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-dznx2j
Out[1]=1

Erf 的渐近展开式：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-hb32tt
Out[1]=1

Erf 可被应用于幂级数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-cjwih9
Out[1]=1

积分变换  (2)

用 FourierTransform 计算 Erf 的傅立叶变换：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-e3gu32
Out[1]=1

LaplaceTransform：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-eqbky1
Out[1]=1

函数恒等式和化简  (3)

误差函数的积分定义：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-bh9t4q
Out[1]=1

含有基本算术运算的参数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-h5mvqm
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-h8romk
Out[2]=2

两个参数的形式会给出函数的差：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-et6ag
Out[1]=1

函数表示  (4)

用不完全 Gamma 函数表示的误差函数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-37wo2
Out[1]=1

通过 MeijerGReduce 用 MeijerG 表示：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-dk896
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-vga99
Out[2]=2

Erf 可被表示为 DifferentialRoot：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-kzd1ca
Out[1]=1

TraditionalForm 格式：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-6k0d4

推广和延伸  (1)推广和延伸使用的实例

两个自变量形式的差异：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-rhy7j
Out[1]=1

应用  (3)用该函数可以解决的问题范例

用错误函数表示 NormalDistribution 的 CDF：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-bmrcuj
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-evd98y
Out[2]=2

位于 -n σ 和 n σ 之间的正态随机变量值的累积概率：

In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-goa41r
Out[3]=3

求解关于分段常量初始条件的热方程：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-dgixnp

检验解是否满足热方程：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-e41rs
Out[2]=2

绘制不同时间的求解结果：

In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-nwn7ib
Out[3]=3

根据超额损失再保险协议，只有当索赔额超过一个固定数额（称为自留额）时，保险人和再保险人之间才能共负索赔。否则，保险人全额支付赔款。如果索赔遵循参数为 和 的对数正态分布，计算自留额为 时保险人和再保险人支付的金额 和 的期望值。求保险人的预期赔付率：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-jt40l4
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-c5j1w
Out[2]=2

计算再保险人对保险人的预期赔付：

In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-bkaab8
In[4]:=4
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-h3efk
Out[4]=4

属性和关系  (3)函数的属性及与其他函数的关联

用反函数组成：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-d6rjln
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-ilf9o5
Out[2]=2

求解超越方程：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-jpefd2
Out[1]=1

Erf 出现在许多数学函数的特例中：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-bnbgfm
Out[1]=1

可能存在的问题  (3)常见隐患和异常行为

对于较大的参数，中间值可能会下溢：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-0jmyx
Out[1]=1

实部参数很大的误差函数非常接近 1：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-7jbus
Out[1]=1

大型参数给出未计算的值：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-bx6z96
Out[1]=1

巧妙范例  (2)奇妙或有趣的实例

绘制回旋螺线：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-bkbqv4
Out[1]=1

部分分子为连续整数的连分数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-ca284v
Out[1]=1

极限可以 Erf 来表示：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gis4s-czi5lw
Out[2]=2
Wolfram Research (1988)，Erf，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/Erf.html （更新于 2022 年）.
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Wolfram Research (1988)，Erf，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/Erf.html （更新于 2022 年）.

文本

Wolfram Research (1988)，Erf，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/Erf.html （更新于 2022 年）.

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Wolfram Research (1988)，Erf，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/Erf.html （更新于 2022 年）.

CMS

Wolfram 语言. 1988. "Erf." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2022. https://reference.wolfram.com/language/ref/Erf.html.

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Wolfram 语言. 1988. "Erf." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2022. https://reference.wolfram.com/language/ref/Erf.html.

APA

Wolfram 语言. (1988). Erf. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/Erf.html 年

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Wolfram 语言. (1988). Erf. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/Erf.html 年

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2025_erf, author="Wolfram Research", title="{Erf}", year="2022", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/Erf.html}", note=[Accessed: 02-April-2025 ]}

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@misc{reference.wolfram_2025_erf, author="Wolfram Research", title="{Erf}", year="2022", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/Erf.html}", note=[Accessed: 02-April-2025 ]}

BibLaTeX

@online{reference.wolfram_2025_erf, organization={Wolfram Research}, title={Erf}, year={2022}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/Erf.html}, note=[Accessed: 02-April-2025 ]}

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