Erfi

Erfi[z]

虚数誤差関数を与える．

詳細

記号操作・数値操作の両方に適した数学関数である．
特別な引数の場合，Erfiは，自動的に厳密値を計算する．
Erfiは任意の数値精度で評価できる．
Erfiは自動的にリストに縫い込まれる．
ErfiはIntervalオブジェクトおよびCenteredIntervalオブジェクトに使うことができる． »

例題

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例 (5)

数値的に評価する：

Wolfram Language code: Erfi[2.5]

実数の部分集合上でプロットする：

Wolfram Language code: Plot[Erfi[x], {x, -2, 2}]

複素数の部分集合上でプロットする：

Wolfram Language code: ComplexPlot3D[Erfi[z], {z, -2 - 2I, 2 + 2I}, PlotLegends -> Automatic]

原点付近の級数展開：

Wolfram Language code: Series[Erfi[x], {x, 0, 10}]

Infinityにおける級数展開：

Wolfram Language code: Series[Erfi[x], {x, ∞, 5}]//Normal

スコープ (39)

数値評価 (6)

数値的に評価する：

Wolfram Language code: Erfi[0.5]

高精度で評価する：

Wolfram Language code: N[Erfi[1 / 2], 50]

出力精度は入力精度に従う：

Wolfram Language code: Erfi[0.5000000000000000000000000000000000]

複素引数について評価する：

Wolfram Language code: Erfi[1.5 - I]

Erfiを高精度で効率よく評価する：

Wolfram Language code: Erfi[0.5`500]//Timing

Wolfram Language code: Erfi[0.5`5000];//Timing

IntervalオブジェクトとCenteredIntervalオブジェクトを使って最悪の場合に保証される区間を計算する：

Wolfram Language code: Erfi[Interval[{.1, .2}]]

Wolfram Language code: Erfi[CenteredInterval[2, 1 / 100]]

Aroundを使って平均的な場合の統計区間を計算することもできる：

Wolfram Language code: Erfi[ Around[2, 0.01]]

配列の要素ごとの値を計算する：

Wolfram Language code: Erfi[{{0 , I π / 2}, {I π / 2, 0}}]

MatrixFunctionを使って行列のErfi関数を計算することもできる：

Wolfram Language code: MatrixFunction[Erfi, {{0, I π / 2}, {I π / 2, 0}}]

特定の値 (3)

簡単な厳密値は自動的に生成される：

Wolfram Language code: Erfi[0]

無限大における値：

Wolfram Language code: Erfi[{-Infinity, Infinity, I Infinity, -I Infinity}]

Erfiの零点を求める：

Wolfram Language code: xzero = Solve[Erfi[x] == 0 && -1 < x < 1, x, Method -> Reduce][[1, 1, 2]]//Quiet

Wolfram Language code: Plot[Erfi[x], {x, -2, 2}, Epilog -> Style[Point[{xzero, Erfi[xzero]}], PointSize[Large], Red]]

可視化 (2)

Erfi関数をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[Erfi[x], {x, -2, 2}]

の実部をプロットする：

Wolfram Language code: ComplexContourPlot[Re[Erfi[z]], {z, -2 - 2 I, 2 + 2 I}, Contours -> 20]

の虚部をプロットする：

Wolfram Language code: ComplexContourPlot[Im[Erfi[z]], {z, -2 - 2 I, 2 + 2 I}, Contours -> 20]

関数の特性 (10)

Erfiはすべての実数値と虚数値について定義される：

Wolfram Language code: FunctionDomain[Erfi[x], x]

Wolfram Language code: FunctionDomain[Erfi[z], z, Complexes]

Erfiはすべての実数値を取る：

Wolfram Language code: FunctionRange[Erfi[x], x, y]

Erfiは奇関数である：

Wolfram Language code: Erfi[-x]

Erfiは鏡特性を有する：

Wolfram Language code: FullSimplify[Erfi[Conjugate[z]] == Conjugate[Erfi[z]]]

Erfiは x の解析関数である：

Wolfram Language code: FunctionAnalytic[Erfi[x], x]

特異点も不連続点も持たない：

Wolfram Language code: FunctionSingularities[Erfi[x], x]

Wolfram Language code: FunctionDiscontinuities[Erfi[x], x]

Erfiは非減少である：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[Erfi[x], x]

Erfiは単射である：

Wolfram Language code: FunctionInjective[Erfi[x], x]

Wolfram Language code: Plot[{Erfi[x], 5}, {x, -5, 5}]

Erfiは全射である：

Wolfram Language code: FunctionSurjective[Erfi[x], x]

Wolfram Language code: Plot[{Erfi[x], -20}, {x, -5, 5}]

Erfiは非負でも非正でもない：

Wolfram Language code: FunctionSign[Erfi[x], x]

Erfiは凸でも凹でもない：

Wolfram Language code: FunctionConvexity[Erfi[x], x]

微分 (3)

一次導関数：

Wolfram Language code: D[Erfi[x], x]

高次導関数：

Wolfram Language code: Table[D[Erfi[x], {x, n}], {n, 1, 4}]

Wolfram Language code:

Plot[Evaluate[%], {x, -1, 1}, PlotLegends -> {"First Derivative", "Second Derivative", "Third Derivative", "Fourth Derivative"}]

次導関数の式：

Wolfram Language code: D[Erfi[x], {x, n}]

積分 (3)

Erfiの不定積分：

Wolfram Language code: Integrate[Erfi[x], x]

原点を中心とした区間における奇関数の定積分は0である：

Wolfram Language code: Integrate[Erfi[x], {x, -3, 3}]

その他の積分例：

Wolfram Language code: Integrate[x^a - 1Erfi[x], x]//Expand

Wolfram Language code: Integrate[Erf[x]Erfi[x], x]

Wolfram Language code: Integrate[Exp[x]Erfi[x], x]

級数展開 (4)

Erfiのテイラー(Taylor)展開：

Wolfram Language code: Series[Erfi[x], {x, 0, 7}]

の周りのErfiの最初の3つの近似をプロットする：

Wolfram Language code:

terms = Normal@Table[Series[Erfi[x], {x, 0, m}], {m, 1, 5, 2}];
Plot[{Erfi[x], terms}, {x, -2, 2}]

Erfiの級数展開における一般項：

Wolfram Language code: SeriesCoefficient[Erfi[x], {x, 0, n}]

Erfiの漸近展開：

Wolfram Language code: Series[Erfi[x], {x, Infinity, 1}]

Erfiはベキ級数に適用できる：

Wolfram Language code: Erfi[Exp[-x] + O[x] ^ 5]

関数の恒等式と簡約 (3)

Erfiの積分定義：

Wolfram Language code: (2/Sqrt[π])Integrate[Exp[t^2], {t, 0, z}]

逆関数のErfi：

Wolfram Language code: Erfi[I InverseErf[z]]

基本的な算術演算を含む引数：

Wolfram Language code: Erfi[Sqrt[z^2]]//FunctionExpand

Wolfram Language code: Erfi[I x]

関数表現 (5)

ErfiとErfの関係：

Wolfram Language code: Erfi[z] == -I Erf[I z]

Erfiの級数表現：

Wolfram Language code: (2/Sqrt[π])Sum[(z^2k + 1/k!(2k + 1)), {k, 0, Infinity}]

ErfiはDifferentialRootとして表現できる：

Wolfram Language code: DifferentialRootReduce[Erfi[x], x]

ErfiはMeijerGによって表現できる：

Wolfram Language code: MeijerGReduce[Erfi[x], x]

Wolfram Language code: Activate[%]

TraditionalFormによる表示：

Wolfram Language code: TraditionalForm[Erfi[x]]

アプリケーション (4)

微分方程式を解く：

Wolfram Language code: DSolve[{Derivative[2][w][z] - 2 z Derivative[1][w][z] == 0, w[0] == 0, w'[0] == (2/Sqrt[π])}, w[z], z]

無力磁場のブラソフ(Vlasov)方程式の定温解：

Wolfram Language code: f[x_, v_, t_] := (C[1] + C[2]Sin[k (x - v t)])Exp[-α v ^ 2]

Wolfram Language code: D[f[x, v, t], t] + v D[f[x, v, t], x]//Simplify

粒子速度上での積分は粒子密度の周辺分布を返す：

Wolfram Language code: Integrate[f[x, v, t], {v, v1, v2}]

突然開くシャッターに関する時間に依存するシュレーディンガー(Schrödinger)方程式の解：

Wolfram Language code: ψ[k_][x_, t_] = 1 / 2E^I (k x - k^2 t / 2)(1 + I Erfi[(-1)^1 / 4(x - k t) / Sqrt[2 t]])

正しいかどうか検証する：

Wolfram Language code: I D[ψ[k][x, t], t] == -(1/2)D[ψ[k][x, t], x, x]//Simplify

以下で時間に依存する解をプロットする：

Wolfram Language code: Plot3D[Abs[ψ[1][x, t]], {x, -5, 5}, {t, 0, 5}]

原点からに向かう直線に沿って積分したものをErfi で表す：

Wolfram Language code: Integrate[Exp[-x ^ 2] / (x ^ 2 - 1), {x, 0, DirectedInfinity[Exp[I Pi / 4]]}]

特性と関係 (1)

大きい虚部の引数についての虚数誤差関数は に限りなく近くなる：

Wolfram Language code: Erfi[0.1`16 + 30 I]

考えられる問題 (1)

大きい引数については，中間値がオーバーフローすることがある：

Wolfram Language code: With[{x = -5.0 10 ^ 8}, Exp[-x ^ 2]Erfi[x]]

DawsonFを使う：

Wolfram Language code: FullSimplify[Exp[-x ^ 2]Erfi[x]]

Wolfram Language code: % /. x -> -5.0 10 ^ 8

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