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EulerE[n]

オイラー数 TemplateBox[{n}, EulerE]を表す．

EulerE[n,x]

オイラーの多項式 TemplateBox[{n, x}, EulerE2]を表す．

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EulerE

EulerE[n]

オイラー数 TemplateBox[{n}, EulerE]を表す．

EulerE[n,x]

オイラーの多項式 TemplateBox[{n, x}, EulerE2]を表す．

詳細

  • 記号操作・数値操作の両方に適した数学関数である．
  • オイラーの多項式は，母関数関係 2e^(xt)/(e^t+1)=sum_(n=0)^(infty)TemplateBox[{n, x}, EulerE2](t^n/n!)を満たす．
  • オイラー数は，TemplateBox[{n}, EulerE]=2^nTemplateBox[{n, {1, /, 2}}, EulerE2]で与えられる．
  • EulerEは自動的にリストに縫い込まれる．

例題

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例  (2)

最初の10個のオイラー数(EulerE)：

Wolfram Language code: Table[EulerE[k], {k, 0, 10}]

オイラーの多項式：

Wolfram Language code: Table[EulerE[n, z], {n, 0, 5}]

スコープ  (4)

EulerEは要素単位でリストに対して適用される：

Wolfram Language code: EulerE[{2, 4, 6}]

オイラーの多項式をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[Evaluate[Table[EulerE[k, z], {k, 0, 5}]], {z, 0, 1}]

簡単な厳密値は自動的に生成される：

Wolfram Language code: EulerE[n, (1/2)]

TraditionalFormによる表示：

Wolfram Language code: EulerE[n]//TraditionalForm
Wolfram Language code: EulerE[n, x]//TraditionalForm

アプリケーション  (2)

ブールの総和公式を実装する：

Wolfram Language code: BooleSummation[f_, {k_, 0, n_}, m_] := (1/2) Underoverscript[∑, j = 0, m - 1](EulerE[j, 0]/j!) ((-1)^n (Subscript[∂, {k, j}]f /. k -> n + 1) + (Subscript[∂, {k, j}]f /. k -> 0))

まずsum_(k=0)^n(-1)^kk^3の近似式のシーケンス：

Wolfram Language code: Table[BooleSummation[k ^ 3, {k, 0, n}, m], {m, 5}]//FullSimplify

このシーケンスは厳密解に収束する：

Wolfram Language code: % /. n -> 10

複素平面でオイラーの多項式の根をプロットする：

Wolfram Language code: Graphics[Table[{Hue[n / 30], Point[{Re[#], Im[#]}]& /@ (z /. NSolve[EulerE[n, z] == 0, z])}, {n, 30}]]

特性と関係  (5)

母関数からオイラー数を求める：

Wolfram Language code: Table[Limit[D[Sech[z], {z, n}], z -> 0], {n, 10}]
Wolfram Language code: Table[EulerE[n], {n, 0, 10}]

母関数からオイラーの多項式を求める：

Wolfram Language code: CoefficientList[Series[Exp[x t] / (Exp[t] + 1), {t, 0, 5}], t]Table[2n!, {n, 0, 5}]//Expand
Wolfram Language code: Table[EulerE[n, x], {n, 0, 5}]

EulerEはDifferenceRootとして表すことができる：

Wolfram Language code: DifferenceRootReduce[EulerE[1, k], k]

FindSequenceFunctionはEulerE数列を認識する：

Wolfram Language code: Table[EulerE[n], {n, 10}]
Wolfram Language code: FindSequenceFunction[%, n]

EulerEの指数母関数：

Wolfram Language code: ExponentialGeneratingFunction[EulerE[n], n, x]

考えられる問題  (1)

アルゴリズム的に出された結果は，EulerEではなくZetaで表されることがしばしばある：

Wolfram Language code: (2^n + 2 n! /π^n + 1)Underoverscript[∑, k = 0, ∞](1/(2 k + 1)^n + 1)Cos[k π - (n π/2)]
Wolfram Language code: Table[%, {n, 10}]//FullSimplify
Wolfram Language code: Table[EulerE[n], {n, 10}]

おもしろい例題  (4)

オイラー数を使ったumbral calculus：

Wolfram Language code: Expand[(e - I) ^ 10]
Wolfram Language code: % /. e ^ k_. :> Abs[EulerE[k]]

10000番目のオイラー数の桁数のヒストグラム：

Wolfram Language code: Histogram[IntegerDigits[EulerE[10000]]]

固定数を法とするオイラー数のシーケンスは周期的である：

Wolfram Language code: DiscretePlot[Mod[EulerE[2n], 17], {n, 50}]

成分がオイラー数であるハンケル(Hankel)行列を定義する：

Wolfram Language code: eulerHankel[n_] := HankelMatrix[EulerE[Range[0, n - 1]], EulerE[Range[n - 1, 2n - 2]]]
Wolfram Language code: eulerHankel[5]//MatrixForm

その行列式はバーンズ(Barnes)のG関数で表すことができる：

Wolfram Language code: Table[Det[eulerHankel[n]] == (-1)^Binomial[n, 2]BarnesG[n + 1]^2, {n, 10}]
Wolfram Research (1988), EulerE, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/EulerE.html.

テキスト

Wolfram Research (1988), EulerE, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/EulerE.html.

CMS

Wolfram Language. 1988. "EulerE." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/EulerE.html.

APA

Wolfram Language. (1988). EulerE. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/EulerE.html

BibTeX

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BibLaTeX

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