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EulerE[n]

给出欧拉数 TemplateBox[{n}, EulerE].

EulerE[n,x]

给出欧拉多项式 TemplateBox[{n, x}, EulerE2].

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按以下格式引用：

EulerE

EulerE[n]

给出欧拉数 TemplateBox[{n}, EulerE].

EulerE[n,x]

给出欧拉多项式 TemplateBox[{n, x}, EulerE2].

更多信息

  • 数学函数，同时适合符号和数值操作.
  • 欧拉多项式满足母函数关系 2e^(xt)/(e^t+1)=sum_(n=0)^(infty)TemplateBox[{n, x}, EulerE2](t^n/n!).
  • 欧拉数由式子 TemplateBox[{n}, EulerE]=2^nTemplateBox[{n, {1, /, 2}}, EulerE2] 给出.
  • EulerE 自动线性作用于列表.

范例

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基本范例  (2)

前 10 个 EulerE 数：

Wolfram Language code: Table[EulerE[k], {k, 0, 10}]

欧拉多项式：

Wolfram Language code: Table[EulerE[n, z], {n, 0, 5}]

范围  (4)

EulerE 按元素线性作用于列表：

Wolfram Language code: EulerE[{2, 4, 6}]

绘制欧拉多项式：

Wolfram Language code: Plot[Evaluate[Table[EulerE[k, z], {k, 0, 5}]], {z, 0, 1}]

自动生成简单精确值：

Wolfram Language code: EulerE[n, (1/2)]

TraditionalForm 格式：

Wolfram Language code: EulerE[n]//TraditionalForm
Wolfram Language code: EulerE[n, x]//TraditionalForm

应用  (2)

执行公式的布尔和：

Wolfram Language code: BooleSummation[f_, {k_, 0, n_}, m_] := (1/2) Underoverscript[∑, j = 0, m - 1](EulerE[j, 0]/j!) ((-1)^n (Subscript[∂, {k, j}]f /. k -> n + 1) + (Subscript[∂, {k, j}]f /. k -> 0))

sum_(k=0)^n(-1)^kk^3 的第一个近似值序列：

Wolfram Language code: Table[BooleSummation[k ^ 3, {k, 0, n}, m], {m, 5}]//FullSimplify

序列收敛于明确的结果：

Wolfram Language code: % /. n -> 10

在复平面绘制欧拉多项式的根：

Wolfram Language code: Graphics[Table[{Hue[n / 30], Point[{Re[#], Im[#]}]& /@ (z /. NSolve[EulerE[n, z] == 0, z])}, {n, 30}]]

属性和关系  (5)

从生成函数中求欧拉数：

Wolfram Language code: Table[Limit[D[Sech[z], {z, n}], z -> 0], {n, 10}]
Wolfram Language code: Table[EulerE[n], {n, 0, 10}]

从生成函数中求欧拉多项式：

Wolfram Language code: CoefficientList[Series[Exp[x t] / (Exp[t] + 1), {t, 0, 5}], t]Table[2n!, {n, 0, 5}]//Expand
Wolfram Language code: Table[EulerE[n, x], {n, 0, 5}]

EulerE 可以表示为 DifferenceRoot：

Wolfram Language code: DifferenceRootReduce[EulerE[1, k], k]

FindSequenceFunction 可以识别 EulerE 序列：

Wolfram Language code: Table[EulerE[n], {n, 10}]
Wolfram Language code: FindSequenceFunction[%, n]

EulerE 的指数母函数：

Wolfram Language code: ExponentialGeneratingFunction[EulerE[n], n, x]

可能存在的问题  (1)

用 Zeta 代替 EulerE 来表示算法产生的结果：

Wolfram Language code: (2^n + 2 n! /π^n + 1)Underoverscript[∑, k = 0, ∞](1/(2 k + 1)^n + 1)Cos[k π - (n π/2)]
Wolfram Language code: Table[%, {n, 10}]//FullSimplify
Wolfram Language code: Table[EulerE[n], {n, 10}]

巧妙范例  (4)

欧拉数的哑运算：

Wolfram Language code: Expand[(e - I) ^ 10]
Wolfram Language code: % /. e ^ k_. :> Abs[EulerE[k]]

第10000个欧拉数的位数直方图：

Wolfram Language code: Histogram[IntegerDigits[EulerE[10000]]]

欧拉数对一个固定数取模产生的序列是周期性的：

Wolfram Language code: DiscretePlot[Mod[EulerE[2n], 17], {n, 50}]

定义一个汉克尔矩阵，其项为欧拉数：

Wolfram Language code: eulerHankel[n_] := HankelMatrix[EulerE[Range[0, n - 1]], EulerE[Range[n - 1, 2n - 2]]]
Wolfram Language code: eulerHankel[5]//MatrixForm

其行列式可以用 Barnes G 函数来表示：

Wolfram Language code: Table[Det[eulerHankel[n]] == (-1)^Binomial[n, 2]BarnesG[n + 1]^2, {n, 10}]
Wolfram Research (1988)，EulerE，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/EulerE.html.

文本

Wolfram Research (1988)，EulerE，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/EulerE.html.

CMS

Wolfram 语言. 1988. "EulerE." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/EulerE.html.

APA

Wolfram 语言. (1988). EulerE. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/EulerE.html 年

BibTeX

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BibLaTeX

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