ForAll

ForAll[x,expr]

x のすべての値について expr がTrueであると宣言する．

ForAll[x,cond,expr]

制約条件 cond を満たすすべての x について expr がTrueであると宣言する．

ForAll[{x1,x2,…},expr]

すべての xiのすべての値について expr がTrueであると宣言する．

詳細

  • ForAll[x,expr]は∀xexpr と入力できる．∀という記号はfaまたは\[ForAll]で入力できる．変数 x は下付き文字として与える．
  • ForAll[x,cond,expr]は∀x,condexpr と入力できる．
  • StandardFormでは，ForAll[x,expr]は∀xexpr と出力される．
  • ForAll[x,cond,expr]は∀x,condexpr と出力される．
  • ForAllはReduce，Resolve，FullSimplifyのような関数で使うことができる．
  • 制約条件 cond は，x∈Integersにおけるようにしばしば変数の領域を指定するのに用いられる．
  • ForAll[x,cond,expr]はForAll[x,Implies[cond,expr]]と等価である．
  • ForAll[{x1,x2,…},…]はと等価である．
  • ForAll[x,expr]における の値は，Blockにおけるように局所化されると解釈される．

例題

すべて開くすべて閉じる

例  (1)

次は，すべての について が正であると述べている：

Resolveを使ってこの陳述が真である実数型の条件を得る：

Reduceは，解かれた形式で条件を返す：

スコープ  (6)

次は，すべての について非等式が真であると述べている：

Resolveを使ってこの文が偽であることを証明する：

次は，すべての実数の について非等式が真であると述べている：

Resolveを使ってこの文が真であることを証明する：

次は，すべてのペアについて不等式が真であると述べている：

領域が指定されていない場合，Resolveは不等式中の代数的変数が実数であるとみなす：

領域をComplexesにすると，不等式をFalseにする複素数値を使うことができる：

次は，トートロジー が を含意していると述べている：

これを証明する：

式に変数が明示的に含まれていない場合，ForAllは自動的に簡約する：

TraditionalFormによる表記：

アプリケーション  (5)

次は，算術平均と幾何平均の間の不等式を提示している：

Resolveを使ってこの不等式を証明する：

次は，Hölderの不等式の特殊形を提示している：

Resolveを使ってこの不等式を証明する：

次は，Minkowskiの不等式の特殊形を提示している：

Resolveを使ってこの不等式を証明する：

三角形の辺 ，， についての幾何学的不等式を証明する：

次は，この不等式がすべての三角形について満足されると述べている：

Resolveを使って不等式を証明する：

次は，不等式がすべての鋭角三角形について満足されると述べている：

Resolveを使って不等式を証明する：

1つの範囲が別の範囲に含まれるかどうかテストする：

次は，R1を満たすすべての点がR2も満たすと述べている：

この陳述は真である．したがって，R1で定義された範囲はR2で定義された範囲に含まれる：

この関係をプロットする：

特性と関係  (3)

ForAllの否定はExistsを返す：

ResolveあるいはReduceを使って量限定子を除去することができる：

これで量限定子を除去する：

これで量限定子を除去し，結果の方程式と不等式を解く：

次は， のすべての複素数値について方程式が真であると述べている：

Reduceを使ってこの陳述が真になるパラメータの値を求める：

次ではSolveAlwaysを使って同じ問題を解いている：

Wolfram Research (2003), ForAll, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/ForAll.html.

テキスト

Wolfram Research (2003), ForAll, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/ForAll.html.

CMS

Wolfram Language. 2003. "ForAll." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/ForAll.html.

APA

Wolfram Language. (2003). ForAll. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/ForAll.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2024_forall, author="Wolfram Research", title="{ForAll}", year="2003", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/ForAll.html}", note=[Accessed: 03-December-2024 ]}

BibLaTeX

@online{reference.wolfram_2024_forall, organization={Wolfram Research}, title={ForAll}, year={2003}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/ForAll.html}, note=[Accessed: 03-December-2024 ]}