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LeviCivitaTensor[d]

d 次元のレヴィ・チビタ(Levi-Civita)の完全に反対称のテンソルを返す．

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LeviCivitaTensor

LeviCivitaTensor[d]

d 次元のレヴィ・チビタ(Levi-Civita)の完全に反対称のテンソルを返す．

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例題

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例  (1)

Wolfram Language code: LeviCivitaTensor[3]
Wolfram Language code: Normal[%]

スコープ  (5)

LeviCivitaTensorは疎な配列を返す：

Wolfram Language code: LeviCivitaTensor[4]

結果を通常の配列として表示する：

Wolfram Language code: LeviCivitaTensor[2]//MatrixForm

テンソルと通常の配列として得る：

Wolfram Language code: LeviCivitaTensor[3, List]

外積を構築する：

Wolfram Language code: LeviCivitaTensor[3].{x1, x2, x3}.{y1, y2, y3}
Wolfram Language code: Cross[{x1, x2, x3}, {y1, y2, y3}]

より高次の結果をSymmetrizedArrayオブジェクトとして得る：

Wolfram Language code: LeviCivitaTensor[15, SymmetrizedArray]

アプリケーション  (2)

無限小回転行列 は，レヴィ・チビタテンソルによる角速度 の縮約である：

Wolfram Language code: ω = {ω1, ω2, ω3}; dR = TensorContract[LeviCivitaTensor[3, List]ω, {2, 4}]

回転力学における多くの操作は，，トルク でのベクトルの縮約である：

Wolfram Language code: dR.{Fx, Fy, Fz} == ω⨯{Fx, Fy, Fz}

角運動量 ：

Wolfram Language code: m dR.{x, y, z} == m ω⨯{x, y, z}

時点 における有限回転行列は， の指数行列である：

Wolfram Language code: Simplify[MatrixExp[t dR] == RotationMatrix[t Sqrt[ω.ω], ω], ω∈Reals && ω1^2 + ω2^2 + ω3^2 > 0]

ホッジ双対はレヴィ・チビタテンソルによる縮約で計算できる：

Wolfram Language code: A = SymmetrizedArray[pos_ :> a@@pos, {5, 5, 5}, Antisymmetric[{1, 2, 3}]]
Wolfram Language code: HodgeDual[A]
Wolfram Language code: % === 1 / 3!TensorContract[ALeviCivitaTensor[5], {{1, 4}, {2, 5}, {3, 6}}]

レヴィ・チビタテンソルによるTensorProductの縮約は，SymmetrizeとHodgeDualを組み合せる：

Wolfram Language code: B = SymmetrizedArray[pos_ :> a@@pos, {5, 5}, Antisymmetric[{1, 2}]]
Wolfram Language code: HodgeDual[Symmetrize[AB, Antisymmetric[Range[5]]]] == (1/5!)TensorContract[ABLeviCivitaTensor[5, SymmetrizedArray], {{1, 6}, {2, 7}, {3, 8}, {4, 9}, {5, 10}}]//Simplify

三次元では，ホッジ双対はベクトルの外積とTensorWedgeを同定するためにしばしば使われる：

Wolfram Language code: v = {vx, vy, vz}; w = {wx, wy, wz}; v⨯w == HodgeDual[vw] == TensorContract[(1/2!)TensorWedge[v, w]LeviCivitaTensor[3], {{1, 3}, {2, 4}}]

特性と関係  (8)

レヴィ・チビタテンソルの構成要素はSignatureの値と一致する：

Wolfram Language code: Array[Signature[{##}]&, {3, 3, 3}] == LeviCivitaTensor[3]

LeviCivitaTensor[d,List]は，Normalをレヴィ・チビタテンソルに適用することに等しい：

Wolfram Language code: LeviCivitaTensor[5, List] === Normal[LeviCivitaTensor[5]]

通常の配列には 個の成分が含まれる：

Wolfram Language code: ByteCount[LeviCivitaTensor[8, List]]

レヴィ・チビタテンソルのSparseArray表現には 個の項が含まれる：

Wolfram Language code: ByteCount[LeviCivitaTensor[8, SparseArray]]

SymmetrizedArray表現は単一の成分しか保存しない：

Wolfram Language code: ByteCount[LeviCivitaTensor[8, SymmetrizedArray]]

LeviCivitaTensor[d]は対称性Antisymmetric[{1,…,d}]を有する：

Wolfram Language code: LeviCivitaTensor[4]
Wolfram Language code: TensorSymmetry[%]

次元 のLeviCivitaTensorは，その次元における1のHodgeDualである：

Wolfram Language code: LeviCivitaTensor[4, SymmetrizedArray] === HodgeDual[1, 4]

行列式Det[m]は，m 番目の行あるいは列のレヴィ・チビタテンソルへの縮約である：

Wolfram Language code: m = Array[μ, {3, 3}]; Det[m] === TensorContract[m[[1]]m[[2]]m[[3]]LeviCivitaTensor[3, List], {{1, 4}, {2, 5}, {3, 6}}]

効率化のためにInactive[TensorProduct]を使ってより高次元に一般化する：

Wolfram Language code: det[m_] := With[{n = Length[m]}, Activate[TensorContract[Inactive[TensorProduct]@@Append[m, LeviCivitaTensor[n]], Table[{k, k + n}, {k, n}]]]];
Wolfram Language code: m = Array[μ, {6, 6}]; Det[m] == det[m]//Simplify

が なら，PfaffianDet[m]はとして計算できる．ここで， はTensorProductとTensorContractを使ってLeviCivitaTensor[2n]である：

Wolfram Language code: m = Symmetrize[Table[a[i, j], {i, 4}, {j, 4}], Antisymmetric[{1, 2}]]; PfaffianDet[m] == (1/2^22!)TensorContract[mmLeviCivitaTensor[4], {{1, 5}, {2, 6}, {3, 7}, {4, 8}}]//Simplify

効率化のためにInactive[TensorProduct]を使ってより高次元に一般化する：

Wolfram Language code: pfaf[m_] := With[{n = Length[m] / 2}, (1/2^nn!)Activate[TensorContract[Inactive[TensorProduct]@@Append[ConstantArray[m, n], LeviCivitaTensor[2n]], Table[{k, k + 2n}, {k, 2n}]]]]
Wolfram Language code: m = Symmetrize[Table[a[i, j], {i, 6}, {j, 6}], Antisymmetric[{1, 2}]]; PfaffianDet[m] == pfaf[m]//Simplify

次元 のCrossは，ベクトルのレヴィ・チビタテンソルへの縮約である：

Wolfram Language code: α = Array[a, {4}]; β = Array[b, {4}]; γ = Array[c, {4}]; Cross[α, β, γ] === TensorContract[αβγLeviCivitaTensor[4, List], {{1, 4}, {2, 5}, {3, 6}}]
Wolfram Research (2008), LeviCivitaTensor, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/LeviCivitaTensor.html （2014年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (2008), LeviCivitaTensor, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/LeviCivitaTensor.html （2014年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 2008. "LeviCivitaTensor." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2014. https://reference.wolfram.com/language/ref/LeviCivitaTensor.html.

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Wolfram Language. (2008). LeviCivitaTensor. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/LeviCivitaTensor.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_levicivitatensor, author="Wolfram Research", title="{LeviCivitaTensor}", year="2014", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/LeviCivitaTensor.html}", note=[Accessed: 15-November-2026]}

BibLaTeX

@online{reference.wolfram_2026_levicivitatensor, organization={Wolfram Research}, title={LeviCivitaTensor}, year={2014}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/LeviCivitaTensor.html}, note=[Accessed: 15-November-2026]}