Permanent

Permanent[m]

给出方阵 m 的积和式.

更多信息和选项

  • Permanent 可用于数字和符号矩阵.
  • 大小为 的矩阵 m 的积和式为 ，其中 为 个元素的置换.
  • Permanent[m,Modulus->n] 计算模 n 积和式.
  • Permanent 支持 Method 选项. 可能的设置包括 "MemoizedExpansion"、"MixedCoefficient"、"Glynn" 和 "Ryser". Automatic 的默认设置根据给定的矩阵在这些方法之间切换.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例  (2)

求符号矩阵的积和式：

精确矩阵的积和式：

范围  (2)

求符号矩阵的积和式：

用精确算术计算行列式：

用机器精度算术来计算：

用 40 位精度的算术：

选项  (2)

Method  (1)

使用默认方法进行数值计算：

获取所有可用方法的结果：

比较四种方法的时间：

Modulus  (1)

用算术模 47 计算积和式：

这比计算 Mod[Permanent[m],47] 要快：

应用  (6)

所有元素都为 1 的方阵的积和式是维数的阶乘：

所有元素都为 1 的方阵的积和式减去单位矩阵的结果为相应维度的重排的数目：

假定我们有 n 个集合，每个集合包含一个 (1 …n) 的子集. 从每个子集中抽取到一个不同的元素的方法的数目等于 0‐1 矩阵的积和式，其中当子集 i 包含 j 时，(i,j) 处为 1：

一共有两种方法可以生成由各子集的不同元素组成的集合：

通过明确构建这些集合确认上述结果：

使用积和式来计算 n 个王后在 n×n 棋盘上的放置方式数，以便两个王后不会相互攻击：

图的积和多项式被定义为 id x-m 的积和式，其中 m 是相应的邻接矩阵，id 是大小适合的单位矩阵：

有 n 个顶点的路径图的和多项式相当于 Fibonacci 多项式 ：

圈图的积和多项式也可以用 Fibonacci 多项式表示：

定义一个用于计算单位归一化傅立叶矩阵的函数：

对于偶数维度，积和式为零：

对于奇数维度，积和式总为整数：

对于奇素数 p>3，p×p 矩阵的积和式等于 p!，模 p3:

属性和关系  (10)

积和式由 给出：

积和式是一个由各项元素组成的多项式. 对于一个 的矩阵来说，多项式的次数为 2：

而对于一个 的矩阵，多项式的次数为 3：

行列式 Det 和积和式有同样的项，但正负号不同：

积和式可以通过沿任意行的共因子展开进行递归计算：

或任意列：

积和式为矩阵行的外积，但是要去掉列索引相同的项：

矩阵及其转置矩阵的积和式相同：

在行和列任意排列的情况下，积和式不变：

矩阵乘以对角矩阵后的积和式等于原矩阵积和式与对角矩阵对角元素的乘积：

三角形矩阵的积和式是其对角线元素的乘积：

块对角矩阵的积和式是各对角块积和式的乘积：

可能存在的问题  (1)

即便维度不是很大，积和式的计算速度也会变慢：

Wolfram Research (2015)，Permanent，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/Permanent.html （更新于 2022 年）.

文本

Wolfram Research (2015)，Permanent，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/Permanent.html （更新于 2022 年）.

CMS

Wolfram 语言. 2015. "Permanent." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2022. https://reference.wolfram.com/language/ref/Permanent.html.

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