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PolynomialSumOfSquaresList[f,vars]

试图找到具有实系数 {f1,…,fn} 的多项式，使得 f==f12+…+fn2.

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PolynomialSumOfSquaresList

PolynomialSumOfSquaresList[f,vars]

试图找到具有实系数 {f1,…,fn} 的多项式，使得 f==f12+…+fn2.

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基本范例  (1)

求多项式的平方和表示：

Wolfram Language code: PolynomialSumOfSquaresList[x ^ 2 + x y + y ^ 2, {x, y}]
Wolfram Language code: x ^ 2 + x y + y ^ 2 - %.%//Expand

可表示为平方和的多项式是非负的：

Wolfram Language code: Plot3D[{x ^ 2 + x y + y ^ 2, 0}, ...]

范围  (6)

求多项式的平方和表示：

Wolfram Language code: PolynomialSumOfSquaresList[x ^ 4 + x y + y ^ 2 + 1 / 60, {x, y}]
Wolfram Language code: x ^ 4 + x y + y ^ 2 + 1 / 60 - %.%//Expand

多项式是非负的：

Wolfram Language code: Plot3D[{x ^ 4 + x y + y ^ 2 + 1 / 60, 0}, ...]

求具有精确实数系数的多项式的平方和表示：

Wolfram Language code: PolynomialSumOfSquaresList[E x ^ 2 + Sqrt[2] x y + Pi y ^ 4 + Log[2], {x, y}]
Wolfram Language code: E x ^ 2 + Sqrt[2] x y + Pi y ^ 4 + Log[2] - %.%//Expand

求具有机器精度实系数的多项式的平方和表示：

Wolfram Language code: f = 1.23 x ^ 2 + 4.56 x y + 7.89 y ^ 4 + 3.21x ^ 2z ^ 6 + 9.87;
Wolfram Language code: PolynomialSumOfSquaresList[f, {x, y, z}]

减去平方和所得式子中的系数都很小：

Wolfram Language code: f - %.%//Expand

求具有任意精度实系数的多项式的平方和表示：

Wolfram Language code: f = 1.23`20 x ^ 2 + 4.56`20 x y + 7.89`20 y ^ 4 + 3.21`20x ^ 2z ^ 6 + 9.87`20;
Wolfram Language code: PolynomialSumOfSquaresList[f, {x, y, z}]

减去平方和所得式子中的系数是任意精度的零：

Wolfram Language code: f - %.%//Expand

多项式可能无法表示为平方和：

Wolfram Language code: PolynomialSumOfSquaresList[x ^ 4 + x y + y ^ 2, {x, y}]

多项式可取负值，因此它不可能是平方和：

Wolfram Language code: FindInstance[x ^ 4 + x y + y ^ 2 < 0, {x, y}]
Wolfram Language code: Show[Plot3D[{x^4 + x y + y^2, 0}, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}, ...], Graphics3D[{Red, Arrow[{{x, y, 1}, {x, y, x^4 + x y + y^2}} /.  %[[1]]]}]]

即使存在平方和表示，PolynomialSumOfSquaresList 也有可能失败：

Wolfram Language code: PolynomialSumOfSquaresList[16 x^4 + 16 x y + 16 y^4 + 2, {x, y}]
Wolfram Language code: Expand[16 x^4 + 16 x y + 16 y^4 + 2 - ((4 y^2 - 1)^2 + (2 Sqrt[2] (x + y))^2 + (4 x^2 - 1)^2)]

应用  (1)

证明一个型大多项式的非负性：

Wolfram Language code: f = 717 + 6 u + 77 u^2 + 87 u^4 + 14 v + 10 u v - 6 u^3 v + 43 v^2 + 10 u v^2 + 205 u^2 v^2 + 20 u v^3 + 38 v^4 + 26 x + 66 u x + 36 u^2 x - 90 u^3 x - 14 v x + 38 u v x - 14 u^2 v x + 8 v^2 x - 2 x^2 + 239 u^2 x^2 - 44 u v x^2 + 27 v^2 x^2 - 12 v x^3 + 25 x^4 + 62 y - 184 u y + 2 u^2 y + 14 u^3 y - 42 v y - 32 u v y - 94 u^2 v y + 14 u v^2 y + 16 v^3 y - 30 x y + 16 u x y - 106 u^2 x y - 6 v x y - 38 u v x y - 10 v^2 x y + 6 x^2 y + 32 x^3 y + 83 y^2 + 22 u y^2 + 501 u^2 y^2 + 10 v y^2 + 108 u v y^2 + 146 v^2 y^2 - 14 u x y^2 + 48 v x y^2 + 42 x^2 y^2 - 24 y^3 - 6 u y^3 - 4 v y^3 + 66 y^4 - 14 z + 154 u z + 74 u^2 z - 4 u^3 z + 110 v z - 38 u v z + 10 u^2 v z - 22 v^2 z + 18 u v^2 z + 12 v^3 z - 6 x z - 52 u x z + 64 u^2 x z - 2 v x z + 10 u v x z - 12 v^2 x z - 4 u x^2 z + 158 y z + 70 u y z - 66 u^2 y z + 8 v y z - 106 u v y z + 4 v^2 y z - 8 x y z - 42 u x y z + 36 v x y z - 6 x^2 y z + 6 y^2 z + 60 u y^2 z - 22 v y^2 z + 40 z^2 - 10 u z^2 + 251 u^2 z^2 - 12 v z^2 + 100 u v z^2 + 251 v^2 z^2 - 20 x z^2 + 6 u x z^2 + 4 v x z^2 + 56 x^2 z^2 - 30 y z^2 - 108 u y z^2 + 74 v y z^2 - 16 x y z^2 + 210 y^2 z^2 + 8 z^3 - 10 u z^3 + 22 v z^3 - 40 y z^3 + 121 z^4;

计算平方和表示：

Wolfram Language code: (ff = PolynomialSumOfSquaresList[f, {x, y, z, u, v}];)//AbsoluteTiming

是平方的和，因此它是非负的：

Wolfram Language code: f - ff.ff//Expand

下面 FindInstance 使用基于平方和表示的方法：

Wolfram Language code: FindInstance[f < 0, {x, y, z, u, v}]//AbsoluteTiming

用 CylindricalDecomposition 确定 f 的非负性需要更多时间：

Wolfram Language code: TimeConstrained[CylindricalDecomposition[f < 0, {x, y, z, u, v}], 300]

属性和关系  (3)

有平方和表示的多项式是非负的：

Wolfram Language code: f = x ^ 2 + 2y ^ 2 + 3 z ^ 2 - x y - x z - y z;
Wolfram Language code: PolynomialSumOfSquaresList[f, {x, y, z}]

用 FindInstance 证明 是非负的：

Wolfram Language code: FindInstance[f < 0, {x, y, z}]

Motzkin 多项式是非负的，但不是平方和：

Wolfram Language code: f = x ^ 4 y ^ 2 + x ^ 2 y ^ 4 - 3 x ^ 2 y ^ 2 + 1;
Wolfram Language code: PolynomialSumOfSquaresList[f, {x, y}]

用 Resolve 证明 是非负的：

Wolfram Language code: Resolve[ForAll[{x, y}, f >= 0], Reals]

用 MinValue 求多项式的下限：

Wolfram Language code: f = 16 x^4 + 16 x y + 16 y^4;
Wolfram Language code: m = MinValue[f, {x, y}]

对于非负多项式 ，PolynomialSumOfSquaresList 未能成功：

Wolfram Language code: PolynomialSumOfSquaresList[f - m, {x, y}]

对于严格为正的多项式 ，PolynomialSumOfSquaresList 成功完成计算：

Wolfram Language code: PolynomialSumOfSquaresList[f - m + 1 / 100, {x, y}]
Wolfram Language code: %.% - f + m - 1 / 100//Expand

可能存在的问题  (1)

即使存在平方和表示，PolynomialSumOfSquaresList 也可能失败：

Wolfram Language code: PolynomialSumOfSquaresList[16 x^4 + 16 x y + 16 y^4 + 2, {x, y}]
Wolfram Language code: Expand[16 x^4 + 16 x y + 16 y^4 + 2 - ((4 y^2 - 1)^2 + (2 Sqrt[2] (x + y))^2 + (4 x^2 - 1)^2)]
Wolfram Research (2021)，PolynomialSumOfSquaresList，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/PolynomialSumOfSquaresList.html.

文本

Wolfram Research (2021)，PolynomialSumOfSquaresList，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/PolynomialSumOfSquaresList.html.

CMS

Wolfram 语言. 2021. "PolynomialSumOfSquaresList." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/PolynomialSumOfSquaresList.html.

APA

Wolfram 语言. (2021). PolynomialSumOfSquaresList. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/PolynomialSumOfSquaresList.html 年

BibTeX

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BibLaTeX

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