実行列のシューア分解を求める：

数値丸めまでの分解を確認する：

と をフォーマットする：

行列 m は，NormalMatrixQ[m]が真のときかつそのときに限って対角行列とユニタリ同値である．シューア分解は一般的な行列に次善の簡約（三角行列のユニタリ同値）を与える．非正規行列について考える：

シューア分解は三角行列に等しいものを返す：

固有値は実数なので t の対角線上に現れる：

シューア分解は右下隅に拡張される 行列の固有ベクトルのネストした列を求める過程であると見ることができる．次の行列 について考える：

この行列の固有値は実数なので，分解すると実数行列と上三角行列になる：

の最初の固有ベクトルから始めての正規直交基底を構築する：

と は固有ベクトル と正規直交しているので， をこの基底に変形すると第1列の対角の下が0になる：

右下の2×2行列を抽出する．その固有値は の残りの固有値である：

の最初の固有ベクトルを含むの正規直交基底を求め，それをに埋め込む：

として について考える：

結果をSchurDecompositionと比較すると， の列の符号まで一致する：

シューア分解を計算する簡単な方法はシフトされていないQRアルゴリズムである． と から始め，各段階で のQR分解を計算する．次に，かつ とする．極限では（正常に動作する入力行列については） は希望する 行列に は希望する 行列に収束する．このメソッドを次の行列 に適用する：

QRアルゴリズムを100回反復して分解を計算する：

構造上，結果の 行列は直交行列である：

そうは見えないかもしれないが， は上三角行列であり，対角の下の成分は数値ノイズである：

SchurDecompositionを使って分解を計算する：

2つの 行列は全体的な符号まで一致するように見える：

成分の数値ノイズは異なる：

行列 は よりも明らかに上三角行列であるように見える：

しかし，と の差は数値ノイズである：

SchurDecomposition[m]は となるような行列 と を与える：

{q,t}=SchurDecomposition[m]の q は常にユニタリ行列である：

m が実数値なら q は直交行列である：

{q,t}=SchurDecomposition[m]の t は最初劣対角についての上三角行列である：

t は厳密に上三角である必要はない：

行列 m に複素数の項があるなら，t 行列は常に厳密に上三角である：

t の対角項は m の固有値である．though not necessarily in any particular order:：

実数値行列 m の場合，実固有値は t の対角線上にあり，複素数は2×2ブロックとして現れる：

実数値行列 の場合，複素固有値は 行列内にの形の2×2ブロックを生成する：

対応する複素固有値はブロックの項目から として回復することができる：

エルミート行列については 行列は常に対角行列である：

m と a は乱数の3×3行列である：

m の a についての一般化されたシューア分解を求める：

m が q.s.ConjugateTranspose[p]によって与えられることを証明する：

a が q.t.ConjugateTranspose[p]によって与えられることを証明する：

{q,s,p,t}=SchurDecomposition[{m,a},RealBlockDiagonalFormFalse]では，s と t の対角の割合は a についての m の一般化された固有値に等しい：

実対称行列 について，シューア分解は固有値と固有ベクトルから構成される：

は の固有値を対角に沿って持つ対角行列である：

の列は の固有値である：

数値正規行列 についてSchurDecomposition[n,RealBlockDiagonalFormFalse]：

これは位相までジョルダン分解と一致する：

行列 t と j は等しい：

q が固有ベクトルを列として持つことを確認するために，各列の第1項目を1.に設定して q と s の位相差を除去する：

SchurDecompositionは近似値の行列にしか使えない：

厳密行列については，まず項目を数値化する：

JordanDecompositionを使うこともできる：