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TensorContract[tensor,{{s11,s12},{s21,s22},…}]

スロットペア{si1,si2}における tensor の縮約を与える．

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TensorContract

TensorContract[tensor,{{s11,s12},{s21,s22},…}]

スロットペア{si1,si2}における tensor の縮約を与える．

詳細

  • TensorContract[tensor,pairs]の第1引数は，任意のテンソルオブジェクト，特に，明示的な配列あるいは記号配列，あるいはテンソル積，転置等の組合せでよい
  • スロット sij はすべて，縮約されたテンソルの階数より大きくはない，異なる正の整数でなければならない．
  • 各ペアの中で縮約されたスロットはすべて同じ次元でなければならないが，異なるペアは異なる次元と関連付けられている場合もある．
  • TensorContractの第1引数中の記号テンソルについては，各縮約のスロットがソートされた後で，第2引数中の縮約がソートされる．
  • TensorContract[tensor,{}]は tensor を返す．

例題

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例  (3)

階数3の配列のスロット2と3を縮約する：

Wolfram Language code: TensorContract[{{{Subscript[a, 1, 1, 1], Subscript[a, 1, 1, 2]}, {Subscript[a, 1, 2, 1], Subscript[a, 1, 2, 2]}}, {{Subscript[a, 2, 1, 1], Subscript[a, 2, 1, 2]}, {Subscript[a, 2, 2, 1], Subscript[a, 2, 2, 2]}}}, {{2, 3}}]

配列でいくつかの縮約を行う：

Wolfram Language code: A = Array[Subscript[a, ##]&, {2, 3, 2, 3}];
Wolfram Language code: TensorContract[A, {{1, 3}, {2, 4}}]

階数3の記号配列：

Wolfram Language code: $Assumptions = A∈Arrays[{3, 2, 3}];

スロット1と3が縮約できる：

Wolfram Language code: TensorContract[A, {{1, 3}}]

スロット1と2は縮約できない：

Wolfram Language code: TensorContract[A, {{1, 2}}]

スコープ  (3)

配列の縮約：

Wolfram Language code: A1 = {{{a, b}, {b, c}}, {{f, g}, {h, i}}}; TensorContract[A1, {{2, 3}}]
Wolfram Language code: A2 = SparseArray[A1]; TensorContract[A2, {{2, 3}}]
Wolfram Language code: A3 = SymmetrizedArray[A1]; TensorContract[A3, {{2, 3}}]

記号配列の縮約：

Wolfram Language code: $Assumptions = A∈Arrays[{d1, d1, d2, d2}];
Wolfram Language code: TensorContract[A, {{3, 4}, {2, 1}}]
Wolfram Language code: TensorDimensions[%]

記号配列の無効な縮約をレポートする：

Wolfram Language code: TensorContract[A, {{1, 3}}]

連続する縮約を組み合せる：

Wolfram Language code: TensorContract[TensorContract[A, {{1, 3}}], {{1, 2}}]

一般化と拡張  (1)

配列の場合は，関数SymbolicTensors`ArrayContractを使って3つ以上のスロットの縮約を行うことができる：

Wolfram Language code: A = Array[Subscript[a, ##]&, {3, 2, 3, 2, 3}];
Wolfram Language code: SymbolicTensors`ArrayContract[A, {{1, 3, 5}}]

Plusの役割を一般化して任意の頭部を指定することも可能である：

Wolfram Language code: SymbolicTensors`ArrayContract[A, {{1, 3, 5}}, g]

縮約は，レベルが縮約の頭部 g 内部に残すような方法で行うこともできる：

Wolfram Language code: SymbolicTensors`ArrayContract[A, {{2, 4}}, g, 4]

特性と関係  (8)

配列の第1レベルでの縮約はTrと等価である：

Wolfram Language code: A = Array[a, {3, 3, 3}];
Wolfram Language code: TensorContract[A, {{1, 2}}] === Tr[A, Plus, 2]

配列のテンソル積の縮約はDotおよびInnerと等価である：

Wolfram Language code: A = Array[a, {2, 2, 2}]; B = Array[b, {2, 2}]; F = Array[f, {2, 3, 2}];

Innerは2つの配列間の1つの縮約を行う：

Wolfram Language code: TensorContract[AB, {{3, 4}}] === Inner[Times, A, B]

引数のDotは，引数間で の縮約を行う：

Wolfram Language code: TensorContract[ABF, {{3, 4}, {5, 6}}] === Expand@Dot[A, B, F]

TransposeとApplyの組合せで任意の縮約も行うことができる：

Wolfram Language code: A = Array[a, {2, 3, 2, 3, 2}];
Wolfram Language code: TensorContract[A, {{1, 5}, {2, 4}}] === Apply[Plus, Transpose[A, {2, 3, 1, 3, 2}], 2]

配列レベルの反対称のペアの縮約は0を返す：

Wolfram Language code: A = SymmetrizedArray[pos_ :> a@@pos, {3, 3, 3, 3}, {Antisymmetric[{1, 2}], Antisymmetric[{3, 4}]}]
Wolfram Language code: TensorContract[A, {{1, 2}}]
Wolfram Language code: Normal[%]

レベル1とレベル3は反対称ペアではないので，結果は0ではない：

Wolfram Language code: TensorContract[A, {{1, 3}}]
Wolfram Language code: Normal[%]

反対称記号配列の縮約は0を返す：

Wolfram Language code: $Assumptions = A∈Arrays[{3, 3, 3, 3}, Complexes, Antisymmetric[{1, 2, 3}]];
Wolfram Language code: TensorContract[A, {{1, 3}}]//TensorReduce

その他の場合では，式が正準化され，縮約が可能な最後のスロットに移動される：

Wolfram Language code: TensorContract[A, {{2, 4}}]//TensorReduce

TensorContract[tensor,{}]は tensor が何かにかかわらず tensor を返す：

Wolfram Language code: TensorContract[I, {}]

TensorContractをTensorProductと組み合せてDotの補間に使うことができる：

Wolfram Language code: v = Array[x, {3}]; a = Array[y, {3, 3, 3}]; m = Array[z, {3, 3}];
Wolfram Language code: v.a.m == TensorContract[vam, {{1, 2}, {4, 5}}]//Simplify

考えられる問題  (1)

無効な縮約はレポートされる：

Wolfram Language code: $Assumptions = A∈Arrays[{d1, d2, d1}];
Wolfram Language code: TensorContract[A, {{2, 3}}]

すると，式は不活性になる：

Wolfram Language code: TensorRank[%]
Wolfram Research (2012), TensorContract, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/TensorContract.html.

テキスト

Wolfram Research (2012), TensorContract, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/TensorContract.html.

CMS

Wolfram Language. 2012. "TensorContract." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/TensorContract.html.

APA

Wolfram Language. (2012). TensorContract. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/TensorContract.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_tensorcontract, author="Wolfram Research", title="{TensorContract}", year="2012", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/TensorContract.html}", note=[Accessed: 09-October-2026]}

BibLaTeX

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