"MOSEK" (最適化メソッド)

"MOSEK" はMOSEK最適化ソルバライブラリを呼び出す．

詳細

MOSEKは，実数および混合整数の変数を持つ大規模で疎な線形および二次の最適化問題と，実変数を持つ円錐最適化問題のための商用ソルバである．
MOSEKは，実数値の円錐問題に加え，線形，二次，指数，累乗の円錐との組合せで混合整数変数も扱うことができる．
MOSEKのライセンスの取得に関する情報は，MOSEKのライセンスを取得するのページを参照されたい．
Method"MOSEK"は，任意の凸最適化関数で，また適切な問題についてはNMinimizeおよび関連関数で使うことができる．
次は，"MOSEK"メソッドの可能なオプションと対応するデフォルト値である．

MaxIterations	Automatic	使用する最大反復回数
Tolerance	Automatic	内部的な比較の許容範囲
Method	Automatic	MOSEKサブメソッド

例題

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例 (2)

"MOSEK"メソッドを使い，制約条件に従ってを最小化する：

Wolfram Language code: NMinimize[{x^2 + 2y^2, {x + y == 1}}, {x, y}, Method -> "MOSEK"]

"MOSEK"メソッドを使い，制約条件 , に従って整数についてを最小化する：

Wolfram Language code: ConvexOptimization[Norm[{x, y}], {x + y ≥ Pi, y ≤ 1}, {x∈Integers, y}, Method -> "MOSEK"]

スコープ (17)

適用可能な関数 (8)

NMaximizeを"MOSEK"メソッドで使い，線形制約に従ってを最大化する：

Wolfram Language code: NMaximize[{1 - Abs[x + 2 y], {x + y == 1, x - y ≤ 2}}, {x, y}, Method -> "MOSEK"]

ConvexOptimizationを使って，半径，中心の円板上でを最小化する：

Wolfram Language code: ConvexOptimization[ -Log[x + y], {x, y}∈Disk[{2, 2}], {x, y}, Method -> "MOSEK"]

解の特性を使って最小値と最小化ベクトルを得る：

Wolfram Language code:

ConvexOptimization[ -Log[x + y], {x, y}∈Disk[{2, 2}], {x, y}, {"PrimalMinimumValue", "PrimalMinimizer"}, Method -> "MOSEK"]

ConicOptimizationを使い， $TemplateBox[{{x, +, , y}}, Abs]^(1.5)<=t$ とに従ってを最小化する：

Wolfram Language code: ConicOptimization[t, {{x, y}∈Disk[{1, 1}], x + y^1.5 ≤ t}, {x, y, t}, Method -> "MOSEK"]

双対最大点を求める：

Wolfram Language code: ConicOptimization[t, {{x, y}∈Disk[{1, 1}], x + y^1.5 ≤ t}, {x, y, t}, "DualMaximizer", Method -> "MOSEK"]

SemidefiniteOptimizationを使い，半正定値行列制約 $(x 1; 1 y)_(TemplateBox[{2}, SemidefiniteConeList])0$ に従ってを最小化する：

Wolfram Language code: constraint = VectorGreaterEqual[{{{x, 1}, {1, y}}, 0}, {"SemidefiniteCone", 2}]

解を求める：

Wolfram Language code: SemidefiniteOptimization[x + 2y, constraint, {x, y}, Method -> "MOSEK"]

SecondOrderConeOptimizationを使い，に従ってを最小化する：

Wolfram Language code: SecondOrderConeOptimization[x + y, {Norm[{x, y}] ≤ 1, x + y == 1 / 2, y ≥ 0}, {x, y}, Method -> "MOSEK"]

目的を，制約条件を $TemplateBox[{{{{a, _, i}, ., x}, +, {b, _, i}}}, Norm]<=alpha_i.x+beta_i,i=1,2$ と定義する：

Wolfram Language code:

c = {1, 1};
{Subscript[a, 1], Subscript[b, 1], Subscript[α, 1], Subscript[β, 1]} = {{{1, 0}, {0, 1}}, 0, 0, 1};
{Subscript[a, 2], Subscript[b, 2], Subscript[α, 2], Subscript[β, 2]} = {0, 0, {0, 1}, 0};

等式制約を以下の通り指定する：

Wolfram Language code: {Subscript[a, 3], Subscript[b, 3], Subscript[α, 3], Subscript[β, 3]} = {{{1, 1}}, {-1 / 2}, 0, 0};

行列ベクトル入力を使って解く：

Wolfram Language code:

SecondOrderConeOptimization[c, {{Subscript[a, 1], Subscript[b, 1], Subscript[α, 1], Subscript[β, 1]}, {Subscript[a, 2], Subscript[b, 2], Subscript[α, 2], Subscript[β, 2]}, 
	{Subscript[a, 3], Subscript[b, 3], Subscript[α, 3], Subscript[β, 3]}}, Method -> "MOSEK"]

QuadraticOptimizationを使い，とに従ってを最小化する：

Wolfram Language code: QuadraticOptimization[x^2 + y^2, {x + y == 2, 0 ≤ y ≤ 2}, {x, y}, Method -> "MOSEK"]

目的を，制約条件をおよびと定義する：

Wolfram Language code:

{q, c} = {{{2, 0}, {0, 2}}, {0, 0}};
{a, b} = {{{0, 1}, {0, -1}}, {0, 2}};
{Subscript[a, eq], Subscript[b, eq]} = {{{1, 1}}, {-2}};

行列ベクトル入力を使って解く：

Wolfram Language code: QuadraticOptimization[{q, c}, {a, b}, {Subscript[a, eq], Subscript[b, eq]}, Method -> "MOSEK"]

LinearOptimizationを使い，に従ってを最小化する：

Wolfram Language code: LinearOptimization[x + y, {x + 2y ≥ 3, x ≥ -1}, {x, y}, Method -> "MOSEK"]

係数を組み合せてとし，ベクトル変数を使う：

Wolfram Language code: LinearOptimization[{1, 1}.v, {{1, 2}, {1, 0}}.v{3, -1}, v, Method -> "MOSEK"]

GeometricOptimizationを使い，外周が最大で1になるようにして長方形の面積を最大にする：

Wolfram Language code: GeometricOptimization[(1/w h), {2w + 2h ≤ 1}, {h, w}, Method -> "MOSEK"]

スケーラブルな問題 (9)

制約条件に従ってTotal[x]を最小化する．ベクトル変数は非負の値で使う：

Wolfram Language code:

n = 1000;
m = 2000;BlockRandom[constants = {a == RandomReal[1, {m, n}], b == RandomReal[1, m]}, RandomSeeding -> 123];

Wolfram Language code:

LinearOptimization[Total[x], {constants, a.x + b1}, {
	x∈Vectors[n, NonNegativeReals]}, "PrimalMinimumValue", Method -> "MOSEK"]//AbsoluteTiming

制約条件に従ってTotal[x]を最小化する．は非負の整数値ベクトルとする：

Wolfram Language code:

n = 100;
m = 100;BlockRandom[constants = {a == RandomReal[1, {m, n}], b == RandomReal[1, m]}, RandomSeeding -> 123];

Wolfram Language code:

LinearOptimization[Total[x], {constants, a.x + b1}, {
	x∈Vectors[n, NonNegativeIntegers]}, "PrimalMinimumValue", Method -> "MOSEK"]//AbsoluteTiming

ベクトル変数を使い，制約条件に従ってTotal[x]を最小化する：

Wolfram Language code:

n = 1000;
m = 2000;BlockRandom[constants = {a == RandomReal[1, {m, n}], b == RandomReal[1, m]}, RandomSeeding -> 123];

Wolfram Language code:

SecondOrderConeOptimization[Total[x], {constants, Norm[a.x - b] ≤ 10}, x, "PrimalMinimumValue", Method -> "MOSEK"]//AbsoluteTiming

1000次元単位球体内にある点の整数値の座標の合計を最小化する：

Wolfram Language code:

SecondOrderConeOptimization[Total[x], Norm[x] ≤ 1, x∈Vectors[1000, Integers], "PrimalMinimumValue", Method -> "MOSEK"]//AbsoluteTiming

制約条件に従い．疎な半定値対称行列についてを最小化する：

Wolfram Language code:

n = 1000;
m = 500;
Q = SparseArray[{{i_, i_} -> 10, {i_, j_} /; Abs[i - j] == 10 -> -1}, {n, n}];BlockRandom[constants = {a == RandomReal[1, {m, n}], b == RandomReal[1, m]}, RandomSeeding -> 123];

Wolfram Language code: QuadraticOptimization[x.Q.x, {constants, a.x + b1}, x, "PrimalMinimumValue", Method -> "MOSEK"]//AbsoluteTiming

大きい疎な行列 , , について，制約条件に従ってを最小化する：

Wolfram Language code:

n = 50000;
q = SparseArray[{{i_, i_} -> 100., {i_, j_} /; Abs[j - i] == 1000 -> -1.}, {n, n}];c = ConstantArray[-1., n];
a = SparseArray[{{i_, i_} -> 1., {i_, j_} /; j == i + 1 -> -2., {i_, j_} /; j == i + 2 -> 1.}, {n - 2, n}];
b = ConstantArray[0, n - 2];QuadraticOptimization[{q, c}, {a, b}, "PrimalMinimumValue", Method -> "MOSEK"]//AbsoluteTiming

疎な半定値対称行列について，Total[x]≥1に従ってx.Q.x+Total[x]を最小化する：

Wolfram Language code:

n = 200;
Q = SparseArray[{{i_, i_} -> 10, {i_, j_} /; Abs[i - j] == 10 -> -1}, {n, n}];

Wolfram Language code:

QuadraticOptimization[x.Q.x + Total[x], Total[x] ≥ 1, x∈Vectors[n, Integers], "PrimalMinimumValue", Method -> "MOSEK"]//AbsoluteTiming

非負の実数項を含む行列が与えられたとき，同様な行列の二乗和（フロベニウスノルムの二乗）を最小にする正の項を持つ対角行列を求める：

Wolfram Language code:

n = 50;
A = BlockRandom[10 ^ RandomReal[{-5, 5}, {n, n}], RandomSeeding -> 1234];

をの対角項とする．は正なのでの項はである．したがって，積の項はである：

Wolfram Language code:

GeometricOptimization[Sum[Indexed[A, {i, j}]^2(Indexed[d, {i}]^2/Indexed[d, {j}]^2), {i, 1, n}, {j, 1, n}], {}, {d∈Vectors[n]}, Method -> "MOSEK"]//AbsoluteTiming

を最小化するを求める：

Wolfram Language code: n = 1000;{a, b} = BlockRandom[{RandomReal[{-1, 1}, {n, n}], Range[n]}, RandomSeeding -> 123];

Wolfram Language code:

ConvexOptimization[Norm[ap.x - bp, 1.5], {ap == a, bp == b}, {x}, "PrimalMinimumValue", Method -> "MOSEK"]//AbsoluteTiming

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