Abs
Abs
Abs[z]
给出实数或复数 z 的绝对值.
范例
打开所有单元 关闭所有单元基本范例 (4)
范围 (34)
数值计算 (6)
Abs[1.2]Abs[3 + 4I]N[Abs[Pi + I Catalan], 25]Abs[-0.312788888855555500005]Abs[-Pi / E + 1.15573`100]//TimingAbs[-Pi / E + 1.15573`10000];//TimingAbs[{{1 / 2, -1}, {-5 / 3, 1 / 2}}]或用 MatrixFunction 计算矩阵形式的 Abs 函数：
MatrixFunction[Abs, {{1 / 2, -1}, {-5 / 3, 1 / 2}}]//FullSimplifyAbs 可与 Interval 和 CenteredInterval 对象一起使用：
Abs[Interval[{-3, 5}]]Abs[CenteredInterval[-5, 3]]Abs[CenteredInterval[2 + 3I, 1 + I]]或用 Around 计算一般情况下的统计区间：
Abs[ Around[3 / 2, 0.01]]特殊值 (6)
Abs 在固定点的值：
Table[Abs[n], {n, {1, I 7 / 3, -7 / 5}}]Abs[0]Abs[Infinity]Abs[I Infinity]Abs[ComplexInfinity]PiecewiseExpand[Abs[I x], -2 < x < 2]Abs[-5^(1/(3)) + 3]![TemplateBox[{x}, Abs]=2](Files/Abs.zh/1.png "TemplateBox[{x}, Abs]=2"){kind=small}
xval = Solve[Abs[x] == 2, x, Reals]
points = {x, Abs[x]} /. xvalPlot[Abs[x], {x, -3, 3}, Epilog -> Style[Point[points], Red, PointSize[Large]]]可视化 (5)
![TemplateBox[{{1, +, , x}}, Abs]](Files/Abs.zh/2.png "TemplateBox[{{1, +, , x}}, Abs]"){kind=small}
Plot[Abs[1 + x], {x, -3, 3}]![TemplateBox[{{1, +, {ⅈ, , x}}}, Abs]](Files/Abs.zh/3.png "TemplateBox[{{1, +, {ⅈ, , x}}}, Abs]"){kind=small}
Plot[Abs[1 + I x], {x, -3, 3}]在复平面上绘制 Abs：
ComplexContourPlot[Abs[z], {z, 2}, PlotLegends -> Automatic]在三维空间绘制 Abs：
ComplexPlot3D[Abs[z], {z, -2 - 2I, 2 + 2I}, Mesh -> Automatic, BoxRatios -> Automatic, RegionFunction -> Function[{z}, Abs[z] ≤ 2]]使用 Abs 指定复平面的区域：
ComplexRegionPlot[Abs[z ^ 2] < Abs[z - 1], {z, 2}]函数属性 (11)
Abs 的定义域是所有实数和复数输入：
FunctionDomain[Abs[x], x]FunctionDomain[Abs[x], x, Complexes]Abs 的值域是非负实数：
FunctionRange[Abs[x], x, y]FunctionRange[Abs[x], x, y, Complexes]Abs 是偶函数：
Abs[-x] == Abs[x]Abs 不是可微函数：
Abs'[x]Underscript[, hUnderscript[ -> , ℂ]0](Abs[x + h] - Abs[x]/h)Underscript[, hUnderscript[ -> , ℝ]0](Abs[x + h] - Abs[x]/h)此结果，仅限于实数输入，是 RealAbs 的导数：
Simplify[% == RealAbs'[x], x∈Reals]Abs 并非解析函数：
FunctionAnalytic[Abs[x], x]FunctionSingularities[Abs[x], x]FunctionDiscontinuities[Abs[x], x]FunctionSingularities[Abs[x], x, Complexes]FunctionDiscontinuities[Abs[x], x, Complexes]Abs 不是非递减也不是非递增：
FunctionMonotonicity[Abs[x], x]Abs 不是单射函数：
FunctionInjective[Abs[x], x]Plot[{Abs[x], 1}, {x, -4, 4}]Abs 不是满射函数：
FunctionSurjective[Abs[x], x]Plot[{Abs[x], -2.5}, {x, -4, 4}]Abs 为非负：
FunctionSign[Abs[x], x]Abs 为凸函数：
FunctionConvexity[Abs[x], x]TraditionalForm 格式输出：
Abs[x]//TraditionalForm函数恒等式及化简 (6)
ComplexExpand[Abs[x]]ComplexExpand[Abs[x + I y]]使用适当的假设，化简 Abs：
Simplify[Abs[x], x > 0]FullSimplify[Abs[z]Sign[z]]Abs[x ^ 2]//FunctionExpandAbs 的实数指数运算：
FullSimplify[Abs[x ^ n] == Abs[x] ^ n, n∈Reals]Abs[x ^ 2]求 Root 表达式的绝对值：
Abs[Root[# ^ 5 + 11# ^ 2 + 1&, 2]]//RootReduce应用 (2)
将 Abs 绘制在复平面上：
Plot3D[Abs[x + I y], {x, -3, 3}, {y, -3, 3}]根据 Abs 为图形上色：
Plot[Sin[x], {x, 0, 4Pi}, ColorFunction -> (Hue[Abs[#2]]&)]Plot3D[Re[Sin[x + I y]], {x, -2Pi, 2Pi}, {y, -1, 1}, ColorFunction -> (Hue[Abs[Sin[#1 + I#2]]]&)]属性和关系 (16)
Abs 是幂等的：
Abs[Abs[z]]Abs 对所有复数有定义：
Abs[{3, -5, 2 + 5I}]RealAbs 仅对实数有定义：
RealAbs[{3, -5, 2 + 5I}]化简含有 Abs 的表达式：
{x Abs[x], Abs[2x + 2]}Simplify[%, x > 3]有些涉及 Abs 的恒等式的简化可能需要显式假定变量为实数：
Simplify[Abs[x] ^ 2 == x ^ 2]Simplify[Abs[x] ^ 2 == x ^ 2, x∈Reals]如果使用的是 RealAbs，则不需要这项假定：
Simplify[RealAbs[x] ^ 2 == x ^ 2]Abs 不是可微函数：
Abs'[x]RealAbs 是可微的：
RealAbs'[x]在 ComplexExpand 中使用 Abs 作为目标函数：
ComplexExpand[Re[ArcSin[x + I y]], TargetFunctions -> {Abs}]求解一个包含 Abs 的方程：
Reduce[Abs[x + 3] + Abs[x - 2] == 17, x, Reals]证明一个包含 Abs 的不等式：
Reduce[Abs[z1 + z2 + z3] ≤ Abs[z1] + Abs[z2] + Abs[z3], {z1, z2, z3}, Reals]Integrate[Abs[x], {x, -2, Pi}]Integrate[Abs[x Sin[x]], {x, -2, Pi}]Integrate[Abs[x], {x, -2 + I, Pi + I}]N[%]NIntegrate[Abs[x], {x, -2 + I, Pi + I}]Integrate[Abs[x], x]Assuming[x∈Reals, Integrate[Abs[x], x]]FourierTransform[Abs[y], y, x]LaplaceTransform[Abs[y], y, x]Assuming[x∈Reals, (1/π)Limit[ArcTan[(x/ε)], ε -> +0, Direction -> "FromAbove"] + (1/2)]转换为 Piecewise：
PiecewiseExpand[Abs[x]Abs[1 - x], x∈Reals]PiecewiseExpand[Abs[x + Abs[1 - x] ^ 3], x∈Reals]ComplexPlot3D 将函数的幅值绘制为高，根据相位绘制颜色：
ComplexPlot3D[Sin[z] ^ 3 / (z + 1) ^ 4, {z, -5 - 5I, 5 + 5I}]Plot3D[Abs[Sin[x + I * y] ^ 3 / (x + I * y + 1) ^ 4], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]可能存在的问题 (3)
Abs 是复变量的函数，因此不可微：
D[Abs[z], z]作为复函数，写入不涉及 Conjugate[z] 的 Abs[z] 是不可能的：
FullSimplify[Abs[z] == Sqrt[Conjugate[z]z]]Limit[DifferenceQuotient[Abs[z], {z, h}], h -> 0, Direction -> 1]Limit[DifferenceQuotient[Abs[z], {z, h}], h -> 0, Direction -> I]添加参数为实数的假定使得 Abs 可微：
FullSimplify[Abs'[x], x∈Reals]可替代使用 RealAbs，它假定其参数为实数：
D[RealAbs[x], x]对某些复杂数值自变量来说，Abs 可以保持不计算：
Abs[-1 - 2E - E^2 + (1 + E)^2]
Simplify[%]不能从复数自变量的 Abs 形成任何级数：
Series[Abs[x], {x, 0, 2}]Series[Abs[x], {x, 0, 2}, Assumptions -> Element[x, Reals]]巧妙范例 (2)
形成包含 Abs 的嵌套函数：
SeedRandom[3];
NestList[
Module[{r := RandomChoice[{-2 / 3, -1 / 2, -1 / 3, 0, 1 / 3, 1 / 2, 2 / 3}]}, (# /. Abs[x_] :> Sum[r Abs[r + r x + r Abs[r + r x]], {2}])]&, Abs[x], 3]//TraditionalFormPlot[Evaluate[%], {x, -3, 3}]作图表示高斯整数的 Abs ：
ArrayPlot[Table[Mod[Round[Abs[x + I y]], 2], {x, -36, 36}, {y, -36, 36}]]
MathWorld
The Wolfram Functions Site
《Wolfram 语言入门》：关于数字
Wolfram Research (1988)，Abs，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/Abs.html （更新于 2021 年）.
文本
Wolfram Research (1988)，Abs，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/Abs.html （更新于 2021 年）.
CMS
Wolfram 语言. 1988. "Abs." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2021. https://reference.wolfram.com/language/ref/Abs.html.
APA
Wolfram 语言. (1988). Abs. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/Abs.html 年