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AsymptoticLessEqual

AsymptoticLessEqual[f,g,xx^*]

给出当 xx^* 时或的条件.

AsymptoticLessEqual[f,g,{x₁,…,x_n}{,…,}]

给出当 {x₁,…,x_n}{,…,} 时或的条件.

更多信息和选项

渐近小于或等于也被表示为 f 是 g 的大写的 o，f 以 g 为上界，f 的大小最多为 g，f 最多与 g 增长得一样快. 经常从上下文中估计点 x^*.
渐近小于或等于是一种排序关系，意味着对于某些常数，当 x 靠近 x^* 时， .
典型的用途包括表示函数和序列在一些点附近的简单上界. 它经常用于方程的解，并给出计算复杂度的简单上界.
对于有限极限点 x^* 和 {,…,}：

	AsymptoticLessEqual[f[x],g[x],xx^*]	存在和，使得 $0<TemplateBox[{{x, -, {x, ^, }}}, Abs]<delta(c,x^)$ 意味着成立
	AsymptoticLessEqual[f[x₁,…,x_n],g[x₁,…,x_n],{x₁,…,x_n}{,…,}]	存在和，使得 $0<TemplateBox[{{{, {{{x, _, 1}, -, {x, _, 1, ^, }}, ,, ..., ,, {{x, _, n}, -, {x, _, n, ^, }}}, }}}, Norm]<delta(c,x^*)$ 意味着 $TemplateBox[{{f, (, {{x, _, 1}, ,, ..., ,, {x, _, n}}, )}}, Abs]<=c TemplateBox[{{g, (, {{x, _, 1}, ,, ..., ,, {x, _, n}}, )}}, Abs]$ 成立

对于无限极限点：

	AsymptoticLessEqual[f[x],g[x],x∞]	存在和，使得意味着成立
	AsymptoticLessEqual[f[x₁,…,x_n],g[x₁,…,x_n],{x₁,…,x_n}{∞,…,∞}]	存在和，使得意味着 $TemplateBox[{{f, (, {{x, _, 1}, ,, ..., ,, {x, _, n}}, )}}, Abs]<=c TemplateBox[{{g, (, {{x, _, 1}, ,, ..., ,, {x, _, n}}, )}}, Abs]$ 成立

在 x^* 附近 g[x] 的值不为无限个零时，当且仅当 MaxLimit[Abs[f[x]/g[x]],xx^*]<∞ 成立时， AsymptoticLessEqual[f[x],g[x],xx^*] 才存在.
可以给出下列选项：

	Assumptions	$Assumptions	对参数的设定
	Direction	Reals	趋近极限点的方向
	GenerateConditions	Automatic	对参数生成条件
	Method	Automatic	所使用的方法
	PerformanceGoal	"Quality"	优化目标

Direction 的可能设置包括：

	Reals or "TwoSided"	从两个实方向
	"FromAbove" or -1	从上面或较大的值
	"FromBelow" or +1	从下面或较小的值
	Complexes	从所有复方向
	Exp[ θ]	从方向
	{dir₁,…,dir_n}	对变量 x_i 分别使用方向 dir_i

在 x^* 处的 DirectionExp[ θ] 表示接近极限点 x^* 的曲线的方向切线.

GenerateConditions 的可能设置包括：
Automatic 只给出非通用条件

True 所有条件

False 不给出条件

None 如果需要条件则不经计算直接返回
PerformanceGoal 的可能设置包括 $PerformanceGoal、"Quality" 和 "Speed". 当设置为 "Quality" 时，AsymptoticLessEqual 通常可以解出更多的问题或者产生更简单的结果，但是可能会耗费更多的时间和内存.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (2)

验证当时，：

可视化两个函数：

验证当 {x,y}->∞ 时，：

可视化两个函数：

范围 (9)

比较不是严格为正 (positive) 的函数:

显示在原点处发散的速度不会快于：

答案可能是布尔表达式，而不是明确的 True 或 False：

当比较有参数的函数时，可能会针对结果给出条件：

缺省情况下，在两个方向上对函数进行比较：

当比较较大的值时，确实不大于 $x^2 TemplateBox[{{x}}, UnitStepSeq]$ ：

但对于较小的值，这种关系不再成立：

可视化两个函数：

像 Sqrt 这样的函数可能在负实数的两个实数方向上具有相同的关系：

如果从复平面的上方接近，可以看到同样的关系：

然而，如果从复平面的下方接近会得到不同的结果：

这是由于在与坐标轴相交时 Sqrt 的虚部的符号发生了反转：

因而，总的来说，这种关系在复平面上不成立：

可视化从四个实方向和虚方向逼近时函数的相对大小：

比较多变量函数：

可视化两个函数的范数：

在无穷大处比较多变量函数：

在比较多变量函数时使用参数：

选项 (10)

Assumptions (1)

用 Assumptions 为参数指定条件：

不同的假设给出不同的结果：

Direction (5)

从下方测试函数之间的关系：

等价于：

从上方测试函数之间的关系：

等价于：

测试分段不连续处的关系：

由于在一个方向上不成立，两个方向上同样不成立：

可视化两个函数及它们的比值：

在简单极点处的关系与逼近的方向无关：

测试分支切割处的关系：

从不同象限逼近，计算函数之间的关系：

从第一象限逼近原点：

等价于：

从右半平面逼近原点：

从下半平面逼近原点：

可视化函数的比值:

GenerateConditions (3)

返回结果，不给出条件：

只有在 n>0 时结果才有效：

如果结果取决于参数的值，不计算，直接返回：

缺省情况下，对能给出结果的情况产生条件：

缺省情况下，如果结果只在特殊值的时候才无效，不给出条件：

当 GenerateConditions->True 时，非通用条件也要报告：

PerformanceGoal (1)

用 PerformanceGoal 来避免潜在的巨量计算：

默认设置使用所有可用技术来尝试给出结果：

应用 (10)

基本应用 (4)

证明在 0 处：

用符号方式证明：

可视化函数：

这种关系对所有实数幂都成立：

可视化指数为分数和负数的函数：

证明在 ∞ 处：

用符号方式证明：

用对数图可视化这种关系：

这种关系对所有实数幂都成立：

可视化指数为分数和负数的函数：

证明在 0 处：

可视化三个函数：

证明在 ∞ 处：

可视化三个函数：

计算复杂度 (4)

简单的排序算法（冒泡排序，插入排序）需要大约 a n² 个步骤对 n 个对象进行排序，而最优通用算法（堆排序，合并排序）大约需要 b n Log[n] 个步骤来进行排序. 证明，对足够大的对象集合进行排序时，最优算法永远不会更慢：

某些特殊的算法（计数排序，基数排序），在有关可能的输入的信息提前存在的情况下，可在 c n 时间内完成. 证明：

可视化这三种算法计算时间的增长：

在冒泡排序中，对相邻的项进行比较，如果顺序不对即进行交换. 经过 n-1 次比较后，最大的元素在最后. 然后在剩余的 n-1 个元素上重复该过程，直到开头处只剩下两个元素. 如果比较和交换需要 c 个步骤，则排序需要的总步骤如下所示：

多项式的形式为：

形式也可以为：

因此，算法被认为需要二次型时间来完成：

在合并排序中，元素列表被分成两部分，分别对每部分进行排序，然后合并两个部分. 因此，进行排序的总时间 T[n] 将是用于计算中值的某个固定时间 b 加上对每一半元素进行排序的时间 2T[n/2]，再加上用于将两部分元素合并在一起的时间，即元素个数的倍数 a n：

求解循环方程，计算对 n 个元素进行排序所需的时间 t：

证明：

反过来，：

因此，算法被认为需要长的时间来完成：

旅行推销员问题 (TSP) 需要找到连接个城市的最短路线. 一个朴素的算法是尝试所有个路线. Held–Karp 算法将其减少到大约个步骤. 证明：

这两种算法都表明，TSP 的计算复杂度类不比 EXPTIME 难，EXPTIME 问题是可以在时间内解决的问题. 对于 Held–Karp 算法，使用就可以了，其中：

对于阶乘，必须使用高次多项式，如：

可以在时间内找到近似解，所以近似 TSP 属于复杂度类 P 问题，是在多项式时间内可以解决的问题. 任何多项式算法都比指数型算法快，或：

收敛性测试 (2)

如果 $sum_(n=1)^inftyTemplateBox[{{a, _, n}}, Abs]<infty$ ，序列被认为是绝对可以求和的. 如果第二个序列，比较测试指出，如果是绝对可以求和的，则也是绝对可以求和的. 通过与的和进行比较，用测试证明收敛：

因为收敛，所以所求的式子的和也收敛：

与 SumConvergence 给出的答案比较：

另一个与相当的序列是 $TemplateBox[{n}, PrimePi]/(n^3log(n))$ ，因此它也是绝对可以求和的：

通过与的和比较，证明收敛：

如果 $int_a^bTemplateBox[{{f, , {(, x, )}}}, Abs]dx<infty$ ，函数被认为在上是绝对可积的. 如果和在开区间上是连续的，且在和处有，比较测试指出，如果是绝对可积的，那么也是绝对可积的. 用测试证明在上是绝对可积的：

由于和在上是可积的，所以也是如此：

函数在上是绝对可积的：

在和处，，因此可知是绝对可积的：

在处，，其中：

证明由于在上是绝对可积的，下列函数也是绝对可积的：

对于，，所以比较测试无法给出关于收敛性的信息：

属性和关系 (8)

AsymptoticLessEqual 是一种自反关系，即：

还是一种传递关系，即若和成立，则有：

然而，它不是对称的，即不意味着：

当且仅当 MaxLimit[Abs[f[x]/g[x]],xx₀]<∞ 时，AsymptoticLessEqual[f[x],g[x],xx₀] 的结果为：

如果 Limit[Abs[f[x]/g[x]],xx₀]<∞，则 AsymptoticLessEqual[f[x],g[x],xx₀] 的结果为：

然而，当极限为 Indeterminate 时，结果是不确定的：

如果，则：

如果和，则：

如果或 , 则 :

但是，不意味着或：

如果和 , 则 :

如果和，则：

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