Cosh

Cosh[z]

给出 z 的双曲余弦.

更多信息

  • 数学函数，适宜于符号和数值运算.
  • .
  • 对于某些特殊参数，Cosh 自动运算出精确值.
  • Cosh 可求任意数值精度的值.
  • Cosh 自动逐项作用于列表的各个元素. »
  • Cosh 可与 Interval 和 CenteredInterval 对象一起使用. »

背景

  • Cosh 是双曲余弦函数，是三角学中普遍使用的 Cos 圆函数的双曲类比. 对于实数变量它的定义如下：设 是三条线 轴、从原点出发的射线以及单位双曲线 围成的封闭区域面积的两倍，则 Cosh[α] 表示射线与双曲线交点的横坐标. Cosh 也可以定义为 ，其中 是自然对数 Log 的底数.
  • 当变量是有理数的（自然）对数时，Cosh 会自动计算出精确值. 当给出精确数值表达式作为变量时，Cosh 可以算出任意精度的数值结果. 对包含 Cosh 的符号表达式，适用的操作运算有 TrigToExp、TrigExpand、Simplify 和 FullSimplify.
  • Cosh 自动逐项作用于列表和矩阵. 相比之下，MatrixFunction 则可用于给出整个方阵的双曲余弦值（即用矩阵幂次代替普通幂次的双曲余弦函数的幂级数）而不是单个矩阵元素的双曲余弦值.
  • 当 x 趋向于 时，Cosh[x] 呈指数级增长. Cosh 和 Cos 类似，也满足勾股恒等式，即 . 双曲余弦函数的定义可由等式 扩展到复数域 上. 双曲余弦函数是整函数，也就是说它在复平面的每个有限点处都是复可微的. Cosh[z] 在原点处的级数展开为 .
  • Cosh 的反函数是 ArcCosh. 其他相关的数学函数有 Sinh 和 Sech.

范例

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基本范例  (4)

数值运算：

在实数的一个子集上绘图：

在复数的子集上绘图：

在 0 处的级数展开：

范围  (48)

数值计算  (6)

数值计算：

高精度求值：

输出精度与输入精度一致：

Cosh 可接受复数：

在高精度条件下高效计算 Cosh：

自动逐项计算数组中每个元素的值：

或用 MatrixFunction 计算矩阵形式的 Cosh 函数：

用 Interval 和 CenteredInterval 对象计算最坏情况下的区间：

或用 Around 计算一般情况下的统计区间：

特殊值  (4)

Cosh 在纯虚数点上的值：

无穷处的值：

Cosh 的最小值：

求最小值以作为 的根：

代入：

可视化结果：

自动生成简单精确值：

更复杂的情况则需使用 FunctionExpand：

可视化  (3)

绘制 Cosh 函数：

绘制 的实部：

绘制 的虚部：

，绘制极坐标图：

函数属性  (12)

Cosh 是针对所有实数和复数定义的：

Cosh 的值域是大于或等于 1 的所有实数：

复数的值域是整个平面：

Cosh 是一个偶函数：

Cosh 具有镜像属性 cosh(TemplateBox[{z}, Conjugate])=TemplateBox[{{cosh, (, z, )}}, Conjugate]：

Cosh 是 x 的解析函数：

Cosh 既不是非递增，也不是非递减：

Cosh 不是单射函数：

Cosh 不是满射函数：

Cosh 非负：

没有奇点或断点：

Cosh 是凸函数：

TraditionalForm 格式：

微分  (3)

一阶导数：

高阶导数：

阶导数的公式：

积分  (4)

Cosh 的不定积分：

含有 Cosh 的三角函数积的的不定积分：

Cosh 在以原点为中心的区间上的定积分：

是半区间上积分的两倍：

更多积分：

级数展开式  (4)

使用 Series 求泰勒级数展开：

绘制 Cosh 在 处的前三个近似式：

Cosh 级数展开式的通项:

Cosh 的傅立叶级数的前几项：

Cosh 可被应用于幂级数：

积分变换  (2)

使用 LaplaceTransform 计算拉普拉斯变换：

HankelTransform:

函数属性和化简  (6)

倍角的 Cosh：

和的 Cosh：

转换多倍角表达式：

将双曲线函数的和形式转换为积形式：

假定为实变量 和 进行展开：

转换为指数形式：

函数表示  (4)

用 Cos 来表示：

用贝塞尔函数来表示：

可以用 MeijerG 来表示：

Cosh 可被表示为 DifferentialRoot：

应用  (10)

绘制双曲线：

在双曲空间内，用无限小转换构建旋转矩阵：

相对的 boost 矩阵：

矩阵关于 Minkowski 度量是正交的：

为快度 η 构建一个相对的坐标转换：

非相对论性的极限：

正弦-戈登方程的特解：

检测结果：

双曲几何学中的勾股定理：

限制 t 的范围，给出普通的勾股定理：

解微分方程：

求微分方程解的双曲形式：

证明当 时， 近似于 ，且绝对误差很小：

使用 Cosh 和 Sinh 函数求双曲线上的点：

属性和关系  (12)

自动应用 Cosh 的基本奇偶性和周期性：

包含双曲函数的表达式不会自动化简：

使用 Simplify 来化简：

与反函数一起使用：

求解双曲方程：

用数值法求超越方程的根：

化简双曲方程：

积分：

积分变换：

Cosh 出现在许多数学函数的特例中：

Cosh 是一个数值函数：

Cosh 的母函数：

Cosh 的指数母函数：

可能存在的问题  (5)

机器精度输入不足以获得正确结果：

使用精确输入，得到正确结果：

需要增大 $MaxExtraPrecision 的值：

机器精度输入可以给出高精度结果：

在无穷大处不存在幂级数，在该处 Cosh 有一个本质奇点：

在 TraditionalForm 中，需要在变量外加圆括号：

巧妙范例  (1)

在复平面内嵌套的双曲余弦：

Wolfram Research (1988)，Cosh，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/Cosh.html （更新于 2021 年）.

文本

Wolfram Research (1988)，Cosh，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/Cosh.html （更新于 2021 年）.

CMS

Wolfram 语言. 1988. "Cosh." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2021. https://reference.wolfram.com/language/ref/Cosh.html.

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Wolfram 语言. (1988). Cosh. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/Cosh.html 年

BibTeX

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