Cosh
Cosh
Cosh[z]
给出 z 的双曲余弦.
背景
- Cosh 是双曲余弦函数，是三角学中普遍使用的 Cos 圆函数的双曲类比. 对于实数变量它的定义如下：设
是三条线 
轴、从原点出发的射线以及单位双曲线 
围成的封闭区域面积的两倍，则 Cosh[α] 表示射线与双曲线交点的横坐标. Cosh 也可以定义为 
，其中 
是自然对数 Log 的底数. - 当变量是有理数的（自然）对数时，Cosh 会自动计算出精确值. 当给出精确数值表达式作为变量时，Cosh 可以算出任意精度的数值结果. 对包含 Cosh 的符号表达式，适用的操作运算有 TrigToExp、TrigExpand、Simplify 和 FullSimplify.
- Cosh 自动逐项作用于列表和矩阵. 相比之下，MatrixFunction 则可用于给出整个方阵的双曲余弦值（即用矩阵幂次代替普通幂次的双曲余弦函数的幂级数）而不是单个矩阵元素的双曲余弦值.
- 当 x 趋向于
时，Cosh[x] 呈指数级增长. Cosh 和 Cos 类似，也满足勾股恒等式，即 
. 双曲余弦函数的定义可由等式 
扩展到复数域 
上. 双曲余弦函数是整函数，也就是说它在复平面的每个有限点处都是复可微的. Cosh[z] 在原点处的级数展开为 
. - Cosh 的反函数是 ArcCosh. 其他相关的数学函数有 Sinh 和 Sech.
范例
打开所有单元 关闭所有单元基本范例 (4)
范围 (48)
数值计算 (6)
Cosh[1.2]N[Cosh[12 / 10], 50]Cosh[1.20000000000000000000000]Cosh 可接受复数：
Cosh[2.5 + I]在高精度条件下高效计算 Cosh：
Cosh[1.2`500]//TimingCosh[1.2`100000];//TimingCosh[{{(π/3)I, -(π/3)I}, {0, -(π/6)I}}]或用 MatrixFunction 计算矩阵形式的 Cosh 函数：
MatrixFunction[Cosh[#]&, {{(π/3)I, -(π/3)I}, {0, -(π/6)I}}]用 Interval 和 CenteredInterval 对象计算最坏情况下的区间：
Cosh[Interval[{0, Log[3]}]]Cosh[CenteredInterval[-1, 1 / 100]]Cosh[CenteredInterval[2 + 3I, (1 + I) / 100]]或用 Around 计算一般情况下的统计区间：
Cosh[Around[(2/Sqrt[3]), 0.1]]特殊值 (4)
Cosh 在纯虚数点上的值：
Table[Cosh[I (π/6) n], {n, -3, 3}]Cosh[Infinity]Cosh[ComplexInfinity]Cosh 的最小值：
Cosh[0]
sol = Solve[D[Cosh[x], x] == 0, x, Reals]xmin = x /. First[sol]Plot[Cosh[x], {x, -1, 1}, Epilog -> Style[Point[{xmin, Cosh[xmin]}], PointSize[Large], Red]]Cosh[I Pi / 5]更复杂的情况则需使用 FunctionExpand：
Cosh[I Pi / 24]FunctionExpand[%]可视化 (3)
绘制 Cosh 函数：
Plot[Cosh[x], {x, -3, 3}]
ComplexContourPlot[Re[Cosh[z]], {z, -3 - 4 I, 3 + 4 I}, IconizedObject[«PlotOptions»]]
ComplexContourPlot[Im[Cosh[z]], {z, -3 - 4 I, 3 + 4 I}, IconizedObject[«PlotOptions»]]
Table[PolarPlot[Cosh[k ϕ], {ϕ, -π, π}, Sequence[Frame -> True, PlotLabel -> "k=" <> ToString[k], PlotRange -> {{-10, 10}, {-40, 40}}, AspectRatio -> 0.8]], {k, 1, 4}]函数属性 (12)
Cosh 是针对所有实数和复数定义的：
FunctionDomain[Cosh[x], x]FunctionDomain[Cosh[z], z, Complexes]Cosh 的值域是大于或等于 1 的所有实数：
FunctionRange[Cosh[x], x, y]FunctionRange[Cosh[z], z, y, Complexes]Cosh 是一个偶函数：
Cosh[-x]Cosh 具有镜像属性 ![cosh(TemplateBox[{z}, Conjugate])=TemplateBox[{{cosh, (, z, )}}, Conjugate]](Files/Cosh.zh/1.png "cosh(TemplateBox[{z}, Conjugate])=TemplateBox[{{cosh, (, z, )}}, Conjugate]"){kind=small}
：
FullSimplify[Cosh[Conjugate[z]] == Conjugate[Cosh[z]]]Cosh 是 x 的解析函数：
FunctionAnalytic[Cosh[x], x]Cosh 既不是非递增，也不是非递减：
FunctionMonotonicity[Cosh[x], x]Cosh 不是单射函数：
FunctionInjective[Cosh[x], x]Plot[{Cosh[x], 5}, {x, -4, 4}]Cosh 不是满射函数：
FunctionSurjective[Cosh[x], x]Plot[{Cosh[x], -1}, {x, -2, 2}]Cosh 非负：
FunctionSign[Cosh[x], x]FunctionSingularities[Cosh[x], x]FunctionDiscontinuities[Cosh[x], x]Cosh 是凸函数：
FunctionConvexity[Cosh[x], x]TraditionalForm 格式：
Cosh[x]//TraditionalForm微分 (3)
阶导数的公式：积分 (4)
Cosh 的不定积分：
Integrate[Cosh[x], x]含有 Cosh 的三角函数积的的不定积分：
Integrate[Sinh[x]Cosh[x], x]Cosh 在以原点为中心的区间上的定积分：
Integrate[Cosh[x], {x, -1, 1}]2 Integrate[Cosh[x], {x, 0, 1}]Table[Integrate[Cosh[x ^ n], x], {n, 3}]Integrate[Cosh[x] ^ a, x]级数展开式 (4)
使用 Series 求泰勒级数展开：
Series[Cosh[x], {x, 0, 7}]绘制 Cosh 在 
处的前三个近似式：
terms = Normal@Table[Series[Cosh[x], {x, 0, m}], {m, 2, 6, 2}];
Plot[{Cosh[x], terms}, {x, -5, 5}]Cosh 级数展开式的通项:
SeriesCoefficient[Cosh[x], {x, 0, n}]Cosh 的傅立叶级数的前几项：
FourierSeries[Cosh[x], x, 2]Cosh 可被应用于幂级数：
Cosh[x + (x^2/2) + (x^3/9) + O[x]^4]积分变换 (2)
使用 LaplaceTransform 计算拉普拉斯变换：
LaplaceTransform[Cosh[t], t, s]HankelTransform[Cosh[r], r, s]%//FullSimplify函数属性和化简 (6)
倍角的 Cosh：
Expand[Cosh[2x], Trig -> True]和的 Cosh：
TrigExpand[Cosh[x + y]]TrigExpand[Cosh[4x]]TrigReduce[%]TrigFactor[Cosh[x] + Cosh[y]]
ComplexExpand[Cosh[x + I y]]TrigToExp[Cosh[z]]函数表示 (4)
用 Cos 来表示：
Simplify[Cos[I y]]FullSimplify[I Sqrt[( x/2 Pi)]BesselK[(1/2), -x] + Sqrt[( x/2 Pi)]BesselK[(1/2), x], x > 0]Simplify[Sqrt[( π x/2)]BesselI[-(1/2), x]]可以用 MeijerG 来表示：
MeijerGReduce[Cosh[x], x]Activate[%]//FullSimplifyCosh 可被表示为 DifferentialRoot：
DifferentialRootReduce[Cosh[x], x]应用 (10)
ParametricPlot[{Sinh[t], Cosh[t]}, {t, -1, 1}]MatrixPower[{{1, θ / n}, {θ / n, 1}}, n]Limit[%, n -> Infinity]//FullSimplifyΛ = {{Cosh[η], 0, 0, Sinh[η]}, {0, 1, 0, 0}, {0, 0, 1, 0}, {Sinh[η], 0, 0, Cosh[η]}}g = DiagonalMatrix[{1, 1, 1, -1}];
FullSimplify[Transpose[Λ].g.Λ]Simplify[With[{η = ArcTanh[v / c]}, {{Cosh[η], -Sinh[η]}, {-Sinh[η], Cosh[η]}}.{c t, x}], 0 < v < c]Series[%, {c, Infinity, 0}]//Normalu[x_, t_] = 4 ArcTan[(c/Sqrt[1 - c^2] ) (Sin[Sqrt[1 - c^2]t]/Cosh[c x])] ;D[u[x, t], t, t] - D[u[x, t], x, x] + Sin[u[x, t]]//FullSimplifySeries[Cosh[t a] == Cosh[t b] Cosh[t c], {t, 0, 2}]Simplify[Normal[%], t > 0]DSolve[-Cos[x]^2 y[x] + Tan[x] Derivative[1][y][x] + Derivative[2][y][x] == 0, y[x], x]DSolve[{y'[t] - 2 y[t] == 0}, y[t], t]ExpToTrig[%]
AsymptoticLess[Cosh[x] - Exp[-x] / 2, 1, x -> -∞]ContourPlot[x ^ 2 - y ^ 2 == 1, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}, Epilog -> Style[Point[{Cosh[π / 2], Sinh[π / 2]}], PointSize[Large], Red], Axes -> True, Frame -> False, AxesLabel -> {x, y}]属性和关系 (12)
自动应用 Cosh 的基本奇偶性和周期性：
Cosh[x + 2Pi I]{Cosh[-x], Cosh[I x]}Cosh[x] ^ 2 - Sinh[x] ^ 2使用 Simplify 来化简：
Simplify[%]{Cosh[ArcCosh[z]], Cosh[2ArcCosh[z]], Cosh[3ArcCosh[z]]}FunctionExpand[%]Reduce[Cosh[z]^2 + Cosh[z + 1] == 1, z]FindRoot[Cosh[z]^3 - 3 Cosh[z + 1] + z == 2, {z, 0}]Reduce[Cosh[a x + b] == 0, x]Table[Integrate[Cosh[x ^ n], x], {n, 3}]∫Cosh[z]^aⅆzFourierSinTransform[1 / (Cosh[t] + 1), t, s]Cosh 出现在许多数学函数的特例中：
{BesselI[-(1/2), z], JacobiCD[I z, 0], Hypergeometric0F1[(1/2), z], MeijerG[{{}, {(1/2)}}, {{0}, {(1/2), (1/2)}}, z]}Cosh 是一个数值函数：
Attributes[Cosh]NumericQ[Cosh[2 + E]]Cosh 的母函数：
GeneratingFunction[Cosh[n], n, x]Cosh 的指数母函数：
ExponentialGeneratingFunction[Cosh[n], n, x]可能存在的问题 (5)
Cosh[10. ^ 40 I]N[Cosh[10 ^ 40 I], 20]需要增大 $MaxExtraPrecision 的值：
N[Cosh[10 ^ 100 I], 20]
Block[{$MaxExtraPrecision = 200}, N[Cosh[10 ^ 100 I], 20]]Cosh[10. ^ 3]MachineNumberQ[%]在无穷大处不存在幂级数，在该处 Cosh 有一个本质奇点：
Series[Cosh[x], {x, Infinity, 2}]在 TraditionalForm 中，需要在变量外加圆括号：
cosh xcosh(x)
MathWorld
The Wolfram Functions Site
NKS|Online
Wolfram Research (1988)，Cosh，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/Cosh.html （更新于 2021 年）.
文本
Wolfram Research (1988)，Cosh，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/Cosh.html （更新于 2021 年）.
CMS
Wolfram 语言. 1988. "Cosh." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2021. https://reference.wolfram.com/language/ref/Cosh.html.
APA
Wolfram 语言. (1988). Cosh. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/Cosh.html 年