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CubeRoot[x]

给出 x 的立方根.

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按以下格式引用：

CubeRoot

CubeRoot[x]

给出 x 的立方根.

更多信息

  • x 为实数时，CubeRoot[x] 返回实立方根.
  • 对于 CubeRoot[x] 中的符号式 x，假定 x 是实数.
  • CubeRoot 可以计算到任意数值精度.
  • CubeRoot 自动逐项作用于列表的各个元素.
  • 在 StandardForm 中，CubeRoot[x] 格式化为
  • 可以通过 cbrt 输入 .
  • ∛z 也可用作输入. 可以通过 cbrti 或 \[CubeRoot]输入符号 ∛.

范例

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基本范例  (5)

CubeRoot 给出实根：

Wolfram Language code: CubeRoot[-27]

在实数的子集上绘图：

Wolfram Language code: Plot[CubeRoot[x], {x, -2, 2}]

使用 cbrt 输入 ：

Wolfram Language code: Surd[-4.5, 3]

注意它与 不同， 后者是 Power[x,1/3]：

Wolfram Language code: -4.5^(1/(3))

在实数上比较 和 的实部和虚部：

Wolfram Language code: ReImPlot[{x^(1/(3)), Surd[x, 3]}, {x, -4, 4}, PlotLegends -> Automatic]

级数展开：

Wolfram Language code: Series[CubeRoot[x], {x, -1, 5}]

范围  (36)

数值计算  (6)

数值化计算：

Wolfram Language code: CubeRoot[128.]

高精度计算：

Wolfram Language code: N[CubeRoot[18], 100]

输出的精度与输入的精度一致：

Wolfram Language code: CubeRoot[0.2111111555555555555111111111111111]

高精度的高效计算：

Wolfram Language code: CubeRoot[12`100]//Timing
Wolfram Language code: CubeRoot[181`1000000];//Timing

CubeRoot 按元素遍历列表和矩阵：

Wolfram Language code: CubeRoot[{0, 1.5, 8, Infinity}]
Wolfram Language code: CubeRoot[(⁠| | | | :- | :---- | | 1 | u | | v | 3.375 |⁠)]//MatrixForm

或用 Around 计算一般情况下的统计区间：

Wolfram Language code: CubeRoot[ Around[2 / 3, 0.001]]

计算数组中每个元素的值：

Wolfram Language code: CubeRoot[{{1 / 2, -1}, {-5 / 3, 1 / 2}}]

或用 MatrixFunction 计算矩阵形式的 CubeRoot 函数：

Wolfram Language code: MatrixFunction[CubeRoot, {{1 / 2, -1}, {-5 / 3, 1 / 2}}]

特殊值  (4)

在固定点的 CubeRoot 的值：

Wolfram Language code: Table[CubeRoot[n ], {n, {-27, -8, -1, 1, 8, 27}}]

零处的值：

Wolfram Language code: CubeRoot[0]

无穷处的值：

Wolfram Language code: CubeRoot[Infinity]
Wolfram Language code: CubeRoot[-Infinity]

用 Solve 求满足 的 值：

Wolfram Language code: Solve[CubeRoot[x] == 3 / 2]

替换结果：

Wolfram Language code: xval = x /. First[%]

可视化结果：

Wolfram Language code: Plot[CubeRoot[x], {x, -10, 10}, Epilog -> Style[Point[{xval, CubeRoot[xval]}], PointSize[Large], Red]]

可视化  (3)

绘制 CubeRoot 的函数：

Wolfram Language code: Plot[CubeRoot[x], {x, -3, 3}]

可视化 的绝对值和辐角（符号）：

Wolfram Language code: AbsArgPlot[Surd[x, 3], {x, -4, 4}, PlotLegends -> Automatic]

对于 ，函数 具有相同的绝对值但不同的辐角：

Wolfram Language code: AbsArgPlot[x^(1/(3)), {x, -4, 4}, PlotLegends -> Automatic]

绘制 的极坐标图：

Wolfram Language code: PolarPlot[CubeRoot[ϕ], {ϕ, 0, 8π}, Frame -> True]

函数属性  (9)

CubeRoot 对实数有定义：

Wolfram Language code: FunctionDomain[CubeRoot[x], x]
Wolfram Language code: FunctionDomain[CubeRoot[x], x, Complexes]

CubeRoot 的值域是全部实数：

Wolfram Language code: FunctionRange[CubeRoot[x], x, y]
Wolfram Language code: FunctionRange[CubeRoot[x], x, y, Complexes]//Reduce

通过 \[CubeRoot]输入 ∛，后面跟一个数字：

Wolfram Language code: ∛-1000

不是解析函数：

Wolfram Language code: FunctionAnalytic[Surd[``x``, 3], x]

也不是亚纯函数：

Wolfram Language code: FunctionMeromorphic[Surd[``x``, 3], x]

非递减：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[Surd[``x``, 3], x]

是单射函数：

Wolfram Language code: FunctionInjective[Surd[``x``, 3], x]
Wolfram Language code: Plot[{Surd[``x``, 3], 1}, {x, -5, 5}]

也是满射函数：

Wolfram Language code: FunctionSurjective[Surd[``x``, 3], x]
Wolfram Language code: Plot[{Surd[``x``, 3], -2}, {x, -10, 5}]

既不是非负，也不是非正：

Wolfram Language code: FunctionSign[Surd[``x``, 3], x]

在实数上连续，但在 处有奇点：

Wolfram Language code: FunctionContinuous[Surd[``x``, 3], x]
Wolfram Language code: FunctionSingularities[Surd[``x``, 3], x]

在 处有奇点是因为它不可微：

Wolfram Language code: Limit[(CubeRoot[h] - CubeRoot[0]/h), h -> 0]

既不凸，也不凹：

Wolfram Language code: FunctionConvexity[Surd[``x``, 3], x]

微分  (3)

关于 x 的一阶导：

Wolfram Language code: D[CubeRoot[x], x]

关于 x 的高阶导：

Wolfram Language code: Table[D[CubeRoot[x], {x, k}], {k, 1, 3}]//FullSimplify

绘制关于 x 的高阶导：

Wolfram Language code: Plot[%, {x, -7, 7}, PlotLegends -> {"First Derivative", "Second Derivative", "Third Derivative"}]

关于 x 的 阶导数的公式：

Wolfram Language code: D[CubeRoot[x], {x, k}]// FullSimplify

积分  (4)

使用 Integrate 计算不定积分：

Wolfram Language code: Integrate[CubeRoot[x], x]
Wolfram Language code: FullSimplify[D[Integrate[CubeRoot[x], x], x] == CubeRoot[x]]

验证反导数：

Wolfram Language code: FullSimplify[D[%, x] == CubeRoot[x]]

定积分：

Wolfram Language code: Integrate[CubeRoot[x], {x, 0, 4}]

CubeRoot 在对称区间上的定积分为 0：

Wolfram Language code: Integrate[CubeRoot[x], {x, -4, 4}]

更多积分：

Wolfram Language code: Integrate[Exp[x]CubeRoot[x], x]//FullSimplify
Wolfram Language code: Integrate[Sin[x]CubeRoot[x], {x, 0, 5}]//FullSimplify

级数展开  (4)

使用 Series 求泰勒展开：

Wolfram Language code: Series[CubeRoot[x], {x, 1, 4}]

绘制 附近的前三个近似：

Wolfram Language code: terms = Normal@Table[Series[CubeRoot[x], {x, 1, m}], {m, 1, 5, 2}]; Plot[{CubeRoot[x], terms}, {x, -1, 3}]

用 SeriesCoefficient 获取计算展开式的通项：

Wolfram Language code: SeriesCoefficient[CubeRoot[x], {x, 1, n}]

一阶傅立叶级数：

Wolfram Language code: FourierSeries[CubeRoot[x], x, 1]// FullSimplify

普通点的泰勒展开：

Wolfram Language code: Series[CubeRoot[x], {x, x0, 2}]// FullSimplify

函数恒等式与简化  (3)

主要定义：

Wolfram Language code: CubeRoot[x] == Surd[x, 3]

乘积可以使用 FullSimplify 合并：

Wolfram Language code: CubeRoot[x]CubeRoot[y] == CubeRoot[x y]

CubeRoot 与整数取幂互换：

Wolfram Language code: Reduce[Table[CubeRoot[x ^ n] == CubeRoot[x] ^ n, {n, 10}], Reals]

应用  (1)

使用 CubeRoot 求解微分方程：

Wolfram Language code: DSolve[3 x y'[x] - y[x] == 0, y[x], x]
Wolfram Language code: DSolve[{CubeRoot[y[x]] - y'[x] == 0, y[0] == 1}, y[x], x]//Quiet

属性和关系  (5)

CubeRoot 只对实数有定义：

Wolfram Language code: FunctionDomain[CubeRoot[x], x, ℂ]

CubeRoot 在实数上是双射函数：

Wolfram Language code: FunctionBijective[CubeRoot[x], x]

用 CubeRoot 求实立方根：

Wolfram Language code: CubeRoot[-8.]

用 Power[x,1/3] 或 求复主立方根：

Wolfram Language code: -8.^(1/(3))

CubeRoot 的母函数：

Wolfram Language code: GeneratingFunction[CubeRoot[n], n, x]
Wolfram Language code: Series[%, {x, 0, 5}]

求解包含 CubeRoot 的函数的积分：

Wolfram Language code: Integrate[(1 + x^3) CubeRoot[x], {x, -1, 1}]

可视化函数及其与 轴之间的有向面积：

Wolfram Language code: Plot[(1 + x^3) CubeRoot[x], {x, -1, 1}, Filling -> Axis, FillingStyle -> {RGBColor[0.880722, 0.611041, 0.142051, 0.5], RGBColor[0.368417, 0.506779, 0.709798, 0.5]}]

可能存在的问题  (1)

在负实轴上，CubeRoot[x] 不同于由 Power[x,1/3] 返回的主根：

Wolfram Language code: ReImPlot[Evaluate[{CubeRoot[x], Power[x, 1 / 3]}], {x, -1, 1}, PlotTheme -> "Detailed"]
Wolfram Research (2012)，CubeRoot，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/CubeRoot.html （更新于 2020 年）.

文本

Wolfram Research (2012)，CubeRoot，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/CubeRoot.html （更新于 2020 年）.

CMS

Wolfram 语言. 2012. "CubeRoot." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2020. https://reference.wolfram.com/language/ref/CubeRoot.html.

APA

Wolfram 语言. (2012). CubeRoot. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/CubeRoot.html 年

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_cuberoot, author="Wolfram Research", title="{CubeRoot}", year="2020", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/CubeRoot.html}", note=[Accessed: 13-September-2026]}

BibLaTeX

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