DEigensystem

DEigensystem[ℒ[u[x,y,…]],u,{x,y,…}∈Ω,n]

给出线性微分算子 ℒ 在区域 Ω 上 n 个幅值最小的特征值和特征函数.

DEigensystem[eqns,u,t,{x,y,…}∈Ω,n]

给出含时微分方程 eqns 的解 u 的特征值和特征函数.

更多信息和选项

  • DEigensystem 可以根据边界条件，计算常微分算子和偏微分算子的特征值和特征函数.
  • DEigensystem 给出特征值 λi 和特征函数 ui 的列表 {{λ1,…,λn},{u1,…,un}}.
  • 微分算子 ℒ 的特征值和特征函数对 {λi,ui} 满足 ℒ[ui[x,y,…]]==λi ui[x,y,…].
  • 可以包含齐次 DirichletCondition 或 NeumannValue 边界条件. 非齐次边界条件将被相应的齐次边界条件代替.
  • 如果没有指定边界 ∂Ω 处的边界条件，则相当于指定诺伊曼 0 边界条件.
  • 方程 eqns 的规范与在 DSolve 中的一样.
  • 对于不能符号式计算特征系统，N[DEigensystem[…]] 会调用 NDEigensystem.
  • 可以给出下列选项：
  • Assumptions $Assumptions对参数的假设
    Method Automatic使用的方法
  • 特征函数不会自动归一化. 设置 Method->"Normalize" 可被用于给出归一化的特征函数.

范例

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基本范例  (2)

求拉普拉斯算子在 [0,π] 上 4 个最小的特征值和特征函数：

可视化特征函数：

计算边缘被固定好的圆形膜片的前 6 个特征函数：

可视化特征函数：

范围  (20)

1D  (9)

指定拉普拉斯算子：

指定齐次狄利克雷边界条件：

求区间上 5 个最小的特征值和特征函数：

可视化特征函数：

指定拉普拉斯算子：

指定齐次诺伊曼边界条件：

求区间上 5 个最小的特征值和特征函数：

这是等价的：

指定拉普拉斯算子：

指定齐次狄利克雷边界条件：

指定齐次诺伊曼边界条件：

求区间上 5 个最小的特征值和特征函数：

可视化特征函数：

指定拉普拉斯算子：

指定齐次狄利克雷边界条件：

指定齐次非零诺伊曼边界条件：

求区间上 5 个最小的特征值和特征函数：

特征值为超越方程的根：

可视化特征函数：

指定艾里算子：

指定齐次狄利克雷边界条件：

求区间上 5 个最小的特征值和特征函数：

特征值为超越方程的根：

可视化特征函数：

指定艾里算子：

指定齐次诺伊曼边界条件：

求区间上 5 个最小的特征值和特征函数：

特征值为超越方程的根：

可视化特征函数：

求拉普拉斯算子的特征值和特征函数的符号表达式：

符号式特征值：

符号式特征函数：

输入量子谐振算符：

求实数轴上特征值和特征函数的符号表达式：

指定带齐次狄利克雷边界条件的热方程：

求 4 个最小的特征值和特征函数：

可视化特征函数：

二维  (6)

指定具有齐次狄利克雷边界条件的拉普拉斯算子：

求长方形内 9 个最小的特征值和特征函数：

可视化特征函数：

指定具有齐次诺伊曼边界条件的拉普拉斯算子：

求长方形内 4 个最小的特征值和特征函数：

可视化特征函数：

指定拉普拉斯算子：

指定齐次狄利克雷边界条件：

求算子在单位圆盘中 4 个最小的特征值和特征函数：

可视化特征函数：

指定一个量子谐振算符：

指定齐次狄利克雷边界条件：

求算子在平面上的 6 个最小的特征值和特征函数：

可视化特征函数：

指定拉普拉斯算子：

指定齐次狄利克雷边界条件：

求算子在三角形中 6 个最小的特征值和特征函数：

可视化特征函数：

指定拉普拉斯算子：

指定齐次狄利克雷边界条件：

求算子在圆盘的扇区中 4 个最小的特征值和特征函数：

可视化特征函数：

三维  (5)

指定拉普拉斯算子：

指定齐次狄利克雷边界条件：

求长方体中 7 个最小的特征值和特征函数：

可视化特征函数：

指定拉普拉斯算子：

指定齐次狄利克雷边界条件：

求圆柱中 7 个最小的特征值和特征函数：

可视化特征函数：

指定拉普拉斯算子：

指定齐次狄利克雷边界条件：

求一个球体中 7 个最小的特征值和特征函数：

可视化特征函数：

指定拉普拉斯算子：

指定齐次狄利克雷边界条件：

求棱柱中 7 个最小的特征值和特征函数：

可视化特征函数：

指定量子谐振算符：

指定齐次狄利克雷边界条件：

求得空间中 8 个最小的特征值和特征函数：

可视化特征函数：

选项  (2)

Assumptions  (1)

用 Assumptions 化简结果：

不使用选项，会返回等价但更加复杂的答案：

Method  (1)

归一化微分算子的特征函数：

检验特征函数是否被归一化：

应用  (3)

给定在区间 上的狄利克雷条件，计算函数 关于由一维拉普拉斯算子提供的基的特征函数展开式的前三项：

计算傅立叶系数：

所求的特征函数展开式为：

比较函数和它的特征函数展开式：

给定狄利克雷条件，通过使用热方程特征函数的线性组合建立热方程的解：

形成特征函数的线性组合：

验证它确实是热方程的解：

此解满足齐次狄利克雷条件：

可视化解：

实验中，一个 CO 分子根据其平衡长度震荡，震荡的有效弹性系数为 k=TemplateBox[{1.86`, {"kN", , "/", , "m"}, kilonewtons per meter, {{(, "Kilonewtons", )}, /, {(, "Meters", )}}}, QuantityTF]. 震荡由量子谐振方程决定. 在下式中， 是分子的缩减质量， 是自然频率， 是距离平衡位置的位移，而 是缩减的普朗克常数：

计算特征值——各自状态的能量——和归一化的特征函数：

如果粒子在四种状态的相等叠加态，则波动函数具有如下形式：

使用原子质量单位的基本单位、飞秒和皮米计算 、 和 ，这样能给出接近正常的数量级的值：

特征函数对应的势能 可以可视化，通过改变比例尺来放到带状区域 中：

距离平衡态位移的概率密度函数由 给出：

作为概率分布， 在全部 上的实数积分为 1:

可视化随着时间的概率密度：

属性和关系  (6)

用 NDEigensystem 求特征值和特征向量的数值：

求特征值和特征向量的精确值：

求特征值和特征向量的数值：

用 DEigenvalues 求微分算子的特征值：

求特征值和特征函数：

只求出特征值：

用 DSolve 求解特征值问题：

求特征值和特征函数：

求完整的特征系统：

由 DEigensystem 给出的特征函数是正交的：

求特征值和特征函数：

验证特征函数是正交的：

默认情况下，由 DEigensystem 给出的特征函数系统不是正交归一的：

求特征值和特征函数：

默认情况下，特征函数系统不是正交归一的：

用 Method->"Normalize" 得到正交归一的系统：

如果无法进行符号运算， 应用 N[DEigensystem[...]] 会调用 NDEigensystem：

可能存在的问题  (2)

非齐次狄利克雷条件被齐次条件代替：

结果是一样的：

非齐次诺伊曼值被齐次值代替：

结果是一样的：

Wolfram Research (2015)，DEigensystem，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/DEigensystem.html.

文本

Wolfram Research (2015)，DEigensystem，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/DEigensystem.html.

CMS

Wolfram 语言. 2015. "DEigensystem." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/DEigensystem.html.

APA

Wolfram 语言. (2015). DEigensystem. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/DEigensystem.html 年

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