DiracDelta
DiracDelta
DiracDelta[x]
ディラックのデルタ関数 
を表す．
DiracDelta[x1,x2,…]
多次元ディラックのデルタ関数 
を表す．
詳細
- DiracDelta[x]は，0以外のすべての実数値 x に対して0を返す．
- DiracDeltaは積分，積分変換および微分方程式で使用される．
- DiracDeltaが積の項にある場合，変換が自動的に成されることもある．
- DiracDelta[x1,x2,…]は，xiに0でない実数値が一つでもある場合0を返す．
- DiracDeltaは属性Orderlessを有する．
- 厳密な数値に対しては，DiracDeltaは，内部で数値近似を用いて結果を導出する．この過程は大域変数$MaxExtraPrecisionの設定により影響を受ける．
例題
すべて開く すべて閉じる例 (3)
DiracDeltaは比例の引数については消失する：
DiracDelta[1 / 2]DiracDeltaは 
については評価されずに残る：
DiracDelta[0]Plot[DiracDelta[x], {x, -2, 2}, AxesOrigin -> {0, -1}]DiracDeltaを積分で使う：
Integrate[DiracDelta[x] Cos[x], {x, -Infinity, Infinity}]スコープ (22)
数値評価 (4)
DiracDelta[-1]DiracDelta[Pi, 8, 1 / 3]DiracDeltaは常に厳密な0を返す：
DiracDelta[.1]DiracDelta[.1435345345678990]DiracDelta[1 / 74, 1 / 8, 1 / 3`100]//TimingDiracDelta[1 / 9, 1 / 8, 1 / 3`10000000];//TimingDiracDeltaはリストに縫い込まれる：
DiracDelta[{-.5, 0, .5}]特定の値 (3)
DiracDeltaは，分布としては0で特定の値を持たない：
DiracDelta[0]DiracDelta[∞]DiracDelta[-∞]FunctionExpand[DiracDelta[x ^ 5 - 1]]FunctionExpand[DiracDelta[x, y]]関数の特性 (4)
DiracDeltaの定義域：
FunctionDomain[DiracDelta[x], x]FunctionDomain[DiracDelta[z], z, Complexes]DiracDeltaは偶関数である：
DiracDelta[-x]DiracDeltaは，原点以外のあらゆるところで0であるにもかかわらず，単位面積を持つ：
Integrate[DiracDelta[x], {x, -∞, ∞}]TraditionalFormによる表示：
DiracDelta[x]//TraditionalForm微分 (3)
DiracDeltaは微分可能であるが，その導関数は特別な名前を持たない：
D[DiracDelta[x], x]多変量のDiracDeltaを微分する：
D[DiracDelta[x, y, z], y]DiracDeltaを含む組合せを微分する：
D[DiracDelta[x, f[y], z], y]積分 (4)
Integrate[DiracDelta[x], x]Integrate[DiracDelta[x - a], {x, 0, y}, Assumptions -> a∈ℝ && y > 0]Integrate[DiracDelta[x Cos[x]], {x, -5, 5}]Integrate[DiracDelta[x - a] f[x], {x, -∞, ∞}, Assumptions -> a∈Reals]Integrate[DiracDelta[x ^ 2 + x Cos[x]], {x, -∞, ∞}]DiracDeltaの導関数を含む式を積分する：
Integrate[DiracDelta'''[x - a] f[x], {x, -Infinity, Infinity}, Assumptions -> a∈Reals]積分変換 (4)
DiracDeltaのFourierTransformを求める：
FourierTransform[DiracDelta[x], x, t]シフトされたDiracDeltaのFourierTransformを求める：
FourierTransform[DiracDelta[x - a], x, t]DiracDeltaのLaplaceTransformを求める：
LaplaceTransform[DiracDelta[x - a], x, t]DiracDeltaのMellinTransformを求める：
MellinTransform[DiracDelta[x - a], x, t]DiracDeltaはConvolveの単位元である：
Convolve[f[x], DiracDelta[x], x, y]アプリケーション (8)
gf[z_] = w[z] /. DSolve[{w''[z] + k^2 w[z] == DiracDelta[z], w[0] == 0, w'[0] == 1}, w[z], z][[1]] /. {HeavisideTheta[0] -> 1}非同次の常微分方程式をグリーン関数を含むたたみ込みを通して解く：
ds = Integrate[gf[z - ζ]Exp[-ζ], {ζ, 0, z}, Assumptions -> z > 0]DSolveからの直接の結果と比較する：
gf[z_] = w[z] /. First[DSolve[{w''[z] + k^2 w[z] == Exp[-z], w[0] == 0, w'[0] == 0}, w[z], z]] //Simplify𝒟[functional_, f_[y_]] := Assuming[ Element[y, Reals],
Limit[((functional /. f :> Function[x, f[x] +
ε DiracDelta[x - y]]) - functional) / ε, ε -> 0]]𝒟[f[x]^2, f[y]]Integrate[DiracDelta[q ^ 2 + p ^ 2 - 1], {q, -∞, ∞}, {p, -∞, ∞}]Assuming[μ ∈Reals && σ > 0 && y∈Reals, FullSimplify[Integrate[PDF[NormalDistribution[μ, σ], x]DiracDelta[x ^ 3 - y], {x, -∞, ∞}, Assumptions -> μ∈Reals && σ > 0 && y∈Reals]]]Plot[% /. {μ -> 0, σ -> 1}, {y, -3, 3}]
𝒟[t_, x_List] := (1/2π)HeavisideTheta[t]DiracDelta[t^2 - x.x] - (m/4π)HeavisideTheta[t - Sqrt[x.x]](BesselJ[1, mSqrt[t^2 - x.x]]/Sqrt[t^2 - x.x])Plot3D[-𝒟[t, {0, 0, z}] /. m -> 1, {z, -3, 3.02}, {t, -3, 3.01}, Exclusions -> {{t ^ 2 == z ^ 2, t ≥ 0}}]chOp[x_, t_] := (Subscript[∂, t]# - Subscript[∂, x, x, t]# + 3 # Subscript[∂, x]# - 2 Subscript[∂, x]# Subscript[∂, x, x]# - # Subscript[∂, x, x, x]#)&u[x_, t_] := Exp[-(x - t)(HeavisideTheta[x - t] - HeavisideTheta[t - x])]より高次の導関数はDiracDeltaを含む：
D[u[x, t], x, x]//FullSimplify{Plot3D[u[x, t] , {x, -3, 3}, {t, 0, 3}], Plot3D[Evaluate[D[u[x, t], x, t]] , {x, -3, 3}, {t, 0, 3}]}//QuietpwF[x_] := 2HeavisideTheta[x - 1] - 2HeavisideTheta[-x - 1]Plot[pwF[x], {x, -3, 3}]D[pwF[x], x]Integrate[%, x]Piecewiseを使っても，もとの関数は復元できない：
pwF2[x_] = PiecewiseExpand[pwF[x] /. HeavisideTheta -> UnitStep]D[pwF2[x], x]Integrate[%, x]DSolve[{y''[x] + y[x] == Sin[x], y[0] == y0, y'[0] == y1}, y[x], x]//SimplifyDiracDeltaの導関数を使って右辺に初期値を組み込む：
DSolve[{y''[x] + y[x] == HeavisideTheta[x] Sin[x] + y0 DiracDelta'[x] + y1 DiracDelta[x]}, y[x], x] /. _C -> 0 //Simplify[#, x > 0]&特性と関係 (4)
DiracDeltaを線形の引数を持つDiracDeltaに展開する：
DiracDelta[x ^ 3 + x ^ 2 + 1]//FunctionExpandDiracDeltaを含む式を簡約する：
{x DiracDelta[x], x DiracDelta'[x]}Simplify[%]FourierTransform[DiracDelta[y], y, x]InverseFourierTransform[%, y, x]LaplaceTransform[DiracDelta[x], x, s]InverseLaplaceTransform[%, s, x]考えられる問題 (8)
HeavisideThetaのみが，微分の後でDiracDeltaを与える：
{HeavisideTheta[x], UnitStep[x], (Sqrt[x ^ 2] / x + 1) / 2, (Abs[x] / x + 1) / 2}Plot[#, {x, -1, 1}]& /@ %D[%%, x] // Together(D[#, x, x] + D[#, y, y] + D[#, z, z])&[(1/Sqrt[x^2 + y^2 + z^2])]//TogetherDiracDelta[0]は「無限大」の数量ではない：
DiracDelta[0] > 20DiracDeltaは数値引数に対して未評価のままのこともある：
DiracDelta[-1 - 2 E - E^2 + (1 + E)^2 + Exp[-Exp[E] ^ 2] ]Simplify[%]Integrate[HeavisideTheta[x] DiracDelta[x], {x, -1, 1}]
Integrate[Sqrt[DiracDelta[x] ^ 2], {x, -1, 1}]
DiracDeltaは複素引数については一意的に定義できない：
DiracDelta[1 + 2I]数値的なルーチンは，一般に，単一点での計測による情報を見落しがちである：
NIntegrate[DiracDelta[x], {x, -2, 1}]
Limitは滑らかな関数の極限としてはDiracDeltaを作成しない：
Limit[ε / (x ^ 2 + ε ^ 2), ε -> 0]Integrateは滑らかな関数の積分としてはDiracDeltaを与えない：
Integrate[Exp[I k x], {x, -∞, ∞}, Assumptions -> k∈Reals]
FourierTransformはDiracDeltaを返すことがある：
FourierTransform[Exp[I k x], x, y]おもしろい例題 (1)
moment[n_ ? EvenQ] := Integrate[x^n E^-x^2, {x, -∞, ∞}, Assumptions -> n ≥ 0]これを，DiracDeltaの導関数で表現された二重テイラー(Taylor)展開を使って行う：
dualMoment[n_ ? EvenQ] := Integrate[ x^n(Sqrt[π]/2^n(n / 2)!)Derivative[n][DiracDelta][x], {x, -∞, ∞}]Table[{moment[n], dualMoment[n]}, {n, 0, 10, 2}]
MathWorld
The Wolfram Functions Site
Wolfram Research (1999), DiracDelta, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/DiracDelta.html.
テキスト
Wolfram Research (1999), DiracDelta, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/DiracDelta.html.
CMS
Wolfram Language. 1999. "DiracDelta." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/DiracDelta.html.
APA
Wolfram Language. (1999). DiracDelta. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/DiracDelta.html