DiracDelta
DiracDelta
DiracDelta[x]
表示狄拉克 δ 函数 
.
DiracDelta[x1,x2,…]
表示多维狄拉克 δ 函数 
.
更多信息
- DiracDelta[x] 对所有不为 0 的实数值 x 返回 0.
- DiracDelta 可被应用到积分、积分变换和微分方程中.
- 当 DiracDelta 出现在项的一个乘积中时，会自动执行一些变换.
- 如果任一 xi 是实数且不为 0，DiracDelta[x1,x2,…] 返回 0.
- DiracDelta 具有 Orderless 属性.
- 对于精确的数字量，DiracDelta 在内部使用数值逼近来得到它的结果. 这个过程与全局变量 $MaxExtraPrecision 的设置有关系.
范例
打开所有单元 关闭所有单元基本范例 (3)
对于非零参数，DiracDelta 的值为零：
DiracDelta[1 / 2]如果 
，则不对 DiracDelta 进行计算：
DiracDelta[0]Plot[DiracDelta[x], {x, -2, 2}, AxesOrigin -> {0, -1}]在积分中使用 DiracDelta 函数：
Integrate[DiracDelta[x] Cos[x], {x, -Infinity, Infinity}]范围 (22)
数值计算 (4)
DiracDelta[-1]DiracDelta[Pi, 8, 1 / 3]DiracDelta 总是返回精确值 0：
DiracDelta[.1]DiracDelta[.1435345345678990]DiracDelta[1 / 74, 1 / 8, 1 / 3`100]//TimingDiracDelta[1 / 9, 1 / 8, 1 / 3`10000000];//TimingDiracDelta 逐项作用于列表的各个元素：
DiracDelta[{-.5, 0, .5}]特殊值 (3)
作为一个分布，DiracDelta 在 0 处没有特定值：
DiracDelta[0]DiracDelta[∞]DiracDelta[-∞]FunctionExpand[DiracDelta[x ^ 5 - 1]]FunctionExpand[DiracDelta[x, y]]函数属性 (4)
DiracDelta 的定义域：
FunctionDomain[DiracDelta[x], x]FunctionDomain[DiracDelta[z], z, Complexes]DiracDelta 是偶函数：
DiracDelta[-x]尽管原点以外的所有地方都为零，但 DiracDelta 具有单位面积：
Integrate[DiracDelta[x], {x, -∞, ∞}]TraditionalForm 格式：
DiracDelta[x]//TraditionalForm微分 (3)
DiracDelta 可微，但其导数没有特殊名称：
D[DiracDelta[x], x]对多元 DiracDelta 进行微分：
D[DiracDelta[x, y, z], y]对含有 DiracDelta 的复合函数进行微分：
D[DiracDelta[x, f[y], z], y]积分 (4)
Integrate[DiracDelta[x], x]Integrate[DiracDelta[x - a], {x, 0, y}, Assumptions -> a∈ℝ && y > 0]Integrate[DiracDelta[x Cos[x]], {x, -5, 5}]Integrate[DiracDelta[x - a] f[x], {x, -∞, ∞}, Assumptions -> a∈Reals]Integrate[DiracDelta[x ^ 2 + x Cos[x]], {x, -∞, ∞}]包含 DiracDelta 导数的积分表达式：
Integrate[DiracDelta'''[x - a] f[x], {x, -Infinity, Infinity}, Assumptions -> a∈Reals]积分变换 (4)
求 DiracDelta 的 FourierTransform：
FourierTransform[DiracDelta[x], x, t]求平移后的 DiracDelta 的 FourierTransform：
FourierTransform[DiracDelta[x - a], x, t]求 DiracDelta 的 LaplaceTransform：
LaplaceTransform[DiracDelta[x - a], x, t]求 DiracDelta 的 MellinTransform：
MellinTransform[DiracDelta[x - a], x, t]DiracDelta 是 Convolve 的同一元素：
Convolve[f[x], DiracDelta[x], x, y]应用 (8)
gf[z_] = w[z] /. DSolve[{w''[z] + k^2 w[z] == DiracDelta[z], w[0] == 0, w'[0] == 1}, w[z], z][[1]] /. {HeavisideTheta[0] -> 1}ds = Integrate[gf[z - ζ]Exp[-ζ], {ζ, 0, z}, Assumptions -> z > 0]与 DSolve 的直接结果相比较：
gf[z_] = w[z] /. First[DSolve[{w''[z] + k^2 w[z] == Exp[-z], w[0] == 0, w'[0] == 0}, w[z], z]] //Simplify𝒟[functional_, f_[y_]] := Assuming[ Element[y, Reals],
Limit[((functional /. f :> Function[x, f[x] +
ε DiracDelta[x - y]]) - functional) / ε, ε -> 0]]𝒟[f[x]^2, f[y]]Integrate[DiracDelta[q ^ 2 + p ^ 2 - 1], {q, -∞, ∞}, {p, -∞, ∞}]Assuming[μ ∈Reals && σ > 0 && y∈Reals, FullSimplify[Integrate[PDF[NormalDistribution[μ, σ], x]DiracDelta[x ^ 3 - y], {x, -∞, ∞}, Assumptions -> μ∈Reals && σ > 0 && y∈Reals]]]Plot[% /. {μ -> 0, σ -> 1}, {y, -3, 3}]
𝒟[t_, x_List] := (1/2π)HeavisideTheta[t]DiracDelta[t^2 - x.x] - (m/4π)HeavisideTheta[t - Sqrt[x.x]](BesselJ[1, mSqrt[t^2 - x.x]]/Sqrt[t^2 - x.x])Plot3D[-𝒟[t, {0, 0, z}] /. m -> 1, {z, -3, 3.02}, {t, -3, 3.01}, Exclusions -> {{t ^ 2 == z ^ 2, t ≥ 0}}]chOp[x_, t_] := (Subscript[∂, t]# - Subscript[∂, x, x, t]# + 3 # Subscript[∂, x]# - 2 Subscript[∂, x]# Subscript[∂, x, x]# - # Subscript[∂, x, x, x]#)&u[x_, t_] := Exp[-(x - t)(HeavisideTheta[x - t] - HeavisideTheta[t - x])]更高阶导数会包含 DiracDelta：
D[u[x, t], x, x]//FullSimplify{Plot3D[u[x, t] , {x, -3, 3}, {t, 0, 3}], Plot3D[Evaluate[D[u[x, t], x, t]] , {x, -3, 3}, {t, 0, 3}]}//QuietpwF[x_] := 2HeavisideTheta[x - 1] - 2HeavisideTheta[-x - 1]Plot[pwF[x], {x, -3, 3}]D[pwF[x], x]Integrate[%, x]用 Piecewise 不能恢复原函数：
pwF2[x_] = PiecewiseExpand[pwF[x] /. HeavisideTheta -> UnitStep]D[pwF2[x], x]Integrate[%, x]DSolve[{y''[x] + y[x] == Sin[x], y[0] == y0, y'[0] == y1}, y[x], x]//Simplify通过 DiracDelta 的导数纳入右手边的初始值：
DSolve[{y''[x] + y[x] == HeavisideTheta[x] Sin[x] + y0 DiracDelta'[x] + y1 DiracDelta[x]}, y[x], x] /. _C -> 0 //Simplify[#, x > 0]&属性和关系 (4)
展开 DiracDelta 为具有线性参数的 DiracDelta：
DiracDelta[x ^ 3 + x ^ 2 + 1]//FunctionExpand化简包含 DiracDelta 的表达式：
{x DiracDelta[x], x DiracDelta'[x]}Simplify[%]FourierTransform[DiracDelta[y], y, x]InverseFourierTransform[%, y, x]LaplaceTransform[DiracDelta[x], x, s]InverseLaplaceTransform[%, s, x]可能存在的问题 (8)
微分后仅 HeavisideTheta 给出 DiracDelta：
{HeavisideTheta[x], UnitStep[x], (Sqrt[x ^ 2] / x + 1) / 2, (Abs[x] / x + 1) / 2}Plot[#, {x, -1, 1}]& /@ %D[%%, x] // Together(D[#, x, x] + D[#, y, y] + D[#, z, z])&[(1/Sqrt[x^2 + y^2 + z^2])]//TogetherDiracDelta[0] 不是一个“无限”量：
DiracDelta[0] > 20对于数值参数，DiracDelta 可不进行计算：
DiracDelta[-1 - 2 E - E^2 + (1 + E)^2 + Exp[-Exp[E] ^ 2] ]Simplify[%]无法定义与具有重合奇异支集 (coinciding singular support) 的分布的积：
Integrate[HeavisideTheta[x] DiracDelta[x], {x, -1, 1}]
Integrate[Sqrt[DiracDelta[x] ^ 2], {x, -1, 1}]
不能唯一定义复数参数的 DiracDelta：
DiracDelta[1 + 2I]NIntegrate[DiracDelta[x], {x, -2, 1}]
Limit 不会给出 DiracDelta 作为一个平滑函数的极限：
Limit[ε / (x ^ 2 + ε ^ 2), ε -> 0]Integrate 不会给出 DiracDelta 作为一个平滑函数的积分：
Integrate[Exp[I k x], {x, -∞, ∞}, Assumptions -> k∈Reals]
FourierTransform 可以给出 DiracDelta：
FourierTransform[Exp[I k x], x, y]巧妙范例 (1)
moment[n_ ? EvenQ] := Integrate[x^n E^-x^2, {x, -∞, ∞}, Assumptions -> n ≥ 0]用 DiracDelta 的导数表示的对偶泰勒展开式来计算：
dualMoment[n_ ? EvenQ] := Integrate[ x^n(Sqrt[π]/2^n(n / 2)!)Derivative[n][DiracDelta][x], {x, -∞, ∞}]Table[{moment[n], dualMoment[n]}, {n, 0, 10, 2}]
MathWorld
The Wolfram Functions Site
Wolfram Research (1999)，DiracDelta，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/DiracDelta.html.
文本
Wolfram Research (1999)，DiracDelta，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/DiracDelta.html.
CMS
Wolfram 语言. 1999. "DiracDelta." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/DiracDelta.html.
APA
Wolfram 语言. (1999). DiracDelta. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/DiracDelta.html 年