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EllipticPi

EllipticPi[n,m]

第3種完全楕円積分を与える．

EllipticPi[n,ϕ,m]

不完全楕円積分を与える．

詳細

記号操作・数値操作の両方に適した数学関数である．
実数およびについて，，のとき $TemplateBox[{n, phi, m}, EllipticPi3]=int_0^phi(1-n sin^2(theta))^(-1)[1-m sin^2(theta)]^(-1/2)dtheta$ ，ただし，主値積分はについて既知である．
EllipticPi[n,m]は，およびに不連続な分枝切断線を持つ．
EllipticPi[n,ϕ,m]は，，，に不連続な分枝切断線を持つ．
特別な引数の場合，EllipticPiは，自動的に厳密値を計算する．
EllipticPiは任意の数値精度で評価できる．
EllipticPi自動的にリストに縫い込まれる．
EllipticPiはIntervalオブジェクトおよびCenteredIntervalオブジェクトに使うことができる． »

例題

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例 (6)

数値的に評価する：

実数の部分集合上でプロットする：

複素数の部分集合上でプロットする：

不完全楕円積分を複素数の部分集合上でプロットする：

原点における級数展開：

Infinityにおける級数展開：

スコープ (36)

数値評価 (6)

不完全楕円積分を数値的に評価する：

高精度で評価する：

出力精度は入力精度に従う：

複素引数について評価する：

EllipticPiを高精度で効率よく評価する：

IntervalオブジェクトとCenteredIntervalオブジェクトを使って最悪の場合に保証される区間を計算する：

Aroundを使って平均的な場合の統計区間を計算することもできる：

配列の要素ごとの値を計算する：

MatrixFunctionを使って行列のEllipticPi関数を計算することもできる：

特定の値 (3)

簡単な厳密値は自動的に生成される：

無限大における値：

方程式の実根を求める：

可視化 (4)

EllipticPiを，第2パラメータのさまざまな値についてプロットする：

EllipticPiを，第1パラメータのさまざまな値についてプロットする：

不完全楕円積を，パラメータのさまざまな値についてプロットする：

の実部をプロットする：

の虚部をプロットする：

関数の特性 (9)

EllipticPiは解析関数ではない：

特異点と不連続点の両方を持つ：

EllipticPiは有理型関数ではない：

の実領域：

の実数範囲：

数値近似に変換する：

は非減少でも非増加でもない：

は単射である：

は全射ではない：

は非負でも非正でもない：

は凸でも凹でもない：

微分 (4)

第1パラメータについての一次導関数：

高次導関数：

についての高次導関数をプロットする：

第2引数について微分する：

高次導関数：

についての高次導関数をプロットする：

積分 (3)

についての不定積分：

定積分：

不完全楕円積分を含む積分：

級数展開 (3)

の周りのEllipticPiのテイラー(Taylor)展開：

の周りのの最初の3つの近似をプロットする：

分岐点の周りのEllipticPiの級数展開：

の周りのの最初の3つの近似をプロットする：

EllipticPiはベキ級数に適用できる：

関数表現 (4)

積分表現：

第3種完全楕円積分は不完全楕円積分の部分的なケースである：

EllipticPiはDifferentialRootとして表すことができる：

TraditionalFormによる表示：

アプリケーション (6)

楕円積分を評価する：

点から , 平面上の原点の円板（例えば探知機や道路標識等）によって範囲を定められた立体角の定義：

立体角の閉形による結果：

数値による比較：

立体角を水平距離と高さの関数としてプロットする：

次は，相対論的な3D振動子の古典的な動作を計算する：

この動作は EllipticPiを使って表すことができる（簡潔を期するため，出現する根は省略されている）：

等角図：

一定の実部と虚部の線の画像を可視化する：

種数1の定数平均曲率ウェンテ（Wente）トーラスのパラメーター化：

3葉，5葉，7葉，11葉のトーラスを可視化する：

EllipticPiについてのパラメータのさまざまな変化を数値的に確認する：

特性と関係 (4)

EllipticPi[n,m]は，とのときは実数値である：

仮定を使って特殊形を展開する：

次は，EllipticPi関数の分枝切断線を示している：

超越方程式の根を数値的に求める：

考えられる問題 (3)

分枝切断線における極限は間違っていることがある：

定義積分は追加的な条件のもとでしか収束しない：

結果が変わるような異なる引数の慣習が存在する：

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