Factorial2

n!!

给出 n 的双阶乘.

更多信息

  • 数学函数，同时适合符号和数值运算.
  • .
  • 当 n 为偶数时，n!! 是偶数的乘积，n 为奇数时，为奇数的乘积.
  • Factorial2 可求任意数值精度的值.
  • Factorial2 自动线性作用于列表.
  • Factorial2 可与 Interval 和 CenteredInterval 对象一起使用. »

范例

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基本范例  (7)

计算整数值：

计算实数值：

在实数的子集上绘图：

在复数的子集上绘图：

在原点的级数展开：

在 Infinity 的级数展开：

在奇点处的级数展开式：

范围  (30)

数值计算  (6)

数值化计算：

高精度计算：

输出的精度与输入的精度一致：

复数输入：

高精度的高效计算：

用 Interval 和 CenteredInterval 对象计算最坏情况下的区间：

或者用 Around 计算普通的统计区间：

计算数组中每个元素的值：

或者用 MatrixFunction 计算矩阵形式的 Factorial2 函数：:

特殊值  (3)

在固定点的 Factorial2 的值：

零处的值：

求 Factorial2[x] 的第一个正极大值：

可视化  (2)

绘制 Factorial2 的函数：

绘制 实部：

绘制 虚部：

函数属性  (10)

双阶乘的实域：

复数域：

双阶乘有镜像属性 ：

Factorial2 按元素线性作用于列表：

Factorial2 不是解析函数：

但是，它是亚纯函数：

Factorial2 既不是非递减也不是非递增：

Factorial2 不是单射函数：

Factorial2 不是满射函数：

Factorial2 既不是非负，也不是非正：

对于 z≤-2，Factorial2 有奇点和断点：

Factorial2 既不凸，也不凹：

微分  (2)

关于 z 的一阶导：

关于 z 的高阶导：

绘制关于 z 的高阶导：

级数展开  (4)

使用 Series 求泰勒展开：

绘制 附近的前三个近似：

求在 Infinity 处的级数展开：

求任意符号方向 处的级数展开：

普通点的泰勒展开：

函数恒等与简化  (3)

函数恒等：

递推关系：

整数上 Factorial 和 Factorial2 之间的关系：

推广和延伸  (3)

无穷参数给出符号结果：

在极点处级数展开：

在无穷远处级数展开（广义 Stirling 近似值）：

应用  (5)

在复平面上绘制双阶乘的绝对值：

使用阶乘和双阶乘的无限级数表示 ：

使用该级数计算 的前 30 位数字：

与数值计算 Pi 进行比较：

验证以双阶乘形式表示的卡塔兰数表达式：

对于奇素数 ，威尔逊定理的一个推广陈述为 TemplateBox[{{{{(, {p, -, 1}, )}, !!}, =, {G, (, {p, +, 1}, )}}, p}, Mod]. 验证前几个奇素数：

奇数双阶乘的行列式表示如下：

属性和关系  (8)

使用 FunctionExpand 函数将双阶乘表示为 Gamma 函数的形式：

用 FullSimplify 来化简包含双阶乘的表达式：

包含 Factorial2 的求和：

生成函数：

恢复原幂级数：

涉及双阶乘的连乘积：

Factorial2 可被表示为 DifferenceRoot：

FindSequenceFunction 可以识别 Factorial2 序列：

Factorial2 的指数母函数：

可能存在的问题  (3)

过大的参数导致结果太大，以致不能直接计算，甚至近似计算：

较小的值可以计算：

机器数输入可以给出高精度结果：

使用 而不是 来重复计算阶乘：

巧妙范例 (3)

在无穷大处绘制 Factorial2：

求 10000!! 中数字 0 到 9 的个数：

绘制重复阶乘和双阶乘的比率：

Wolfram Research (1988)，Factorial2，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/Factorial2.html （更新于 2022 年）.

文本

Wolfram Research (1988)，Factorial2，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/Factorial2.html （更新于 2022 年）.

CMS

Wolfram 语言. 1988. "Factorial2." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2022. https://reference.wolfram.com/language/ref/Factorial2.html.

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Wolfram 语言. (1988). Factorial2. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/Factorial2.html 年

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