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FiniteFieldElementNorm[a]

有限体の元 a の絶対ノルムを与える．

FiniteFieldElementNorm[a,k]

a の周辺体の 元部分体のと相対的な a のノルムを与える．

FiniteFieldElementNorm[a,emb]

有限体埋込み emb と相対的な a のノルムを与える．

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FiniteFieldElementNorm

FiniteFieldElementNorm[a]

有限体の元 a の絶対ノルムを与える．

FiniteFieldElementNorm[a,k]

a の周辺体の 元部分体のと相対的な a のノルムを与える．

FiniteFieldElementNorm[a,emb]

有限体埋込み emb と相対的な a のノルムを与える．

詳細

  • 標数が p で上の拡大次数が d の有限体 について，a の絶対ノルムは で与えられる．は から への写像で，である．
  • MinimalPolynomial[a,x]xn+cn-1xn-1+⋯+c0なら である．
  • FiniteFieldElementNorm[a]はから までの整数を与える．
  • 標数 p，上の拡大次数 d の有限体 について， の 元部分体 のと相対的な a のノルムは で与えられる．ただし，である．は から への写像で，である．k は d の除数でなければならない．
  • MinimalPolynomial[a,x,k]xn+cn-1xn-1+⋯+c0なら である．
  • FiniteFieldElementNorm[a,k]は の元を与える．
  • emb=FiniteFieldEmbedding[e1e2]ならFiniteFieldElementNorm[a,emb]は，事実上，emb["Projection"][FiniteFieldElementNorm[a,k]],を与える．ただし，a は e2の周辺体に属し，k は e1の周辺体の拡大次数である．

例題

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例  (1)

標数，拡大次数の有限体を表す：

Wolfram Language code: ℱ = FiniteField[17, 6]

体の元の絶対ノルムを求める：

Wolfram Language code: FiniteFieldElementNorm[ℱ[123]]

元の部分体と相対的なノルムを求める：

Wolfram Language code: FiniteFieldElementNorm[ℱ[123], 2]

スコープ  (2)

有限体の元の絶対ノルムを求める：

Wolfram Language code: ℱ = FiniteField[127, 12]; FiniteFieldElementNorm[ℱ[1234]]

有限体の元として与えられた絶対ノルム：

Wolfram Language code: FiniteFieldElementNorm[ℱ[1234], 1]

元の部分体と相対的なノルム：

Wolfram Language code: FiniteFieldElementNorm[ℱ[1234], 3]

体の埋込みと相対的なノルムを計算する：

Wolfram Language code: {𝒦, ℱ} = {FiniteField[73, 2], FiniteField[73, 8]}; ℰ = FiniteFieldEmbedding[𝒦, ℱ]; FiniteFieldElementNorm[ℱ[1234], ℰ]

結果は と相対的なノルムを計算して に射影することと等しい：

Wolfram Language code: FiniteFieldElementNorm[ℱ[1234], 2]
Wolfram Language code: ℰ["Projection"][%]

アプリケーション  (1)

線形写像 を定義する：

Wolfram Language code: ℱ = FiniteField[59, 3]; b = ℱ[123]; m[b_][a_] := a b

は の行列式を計算する：

Wolfram Language code: FiniteFieldElementNorm[b]

行列式を手動で計算する：

Wolfram Language code: Mod[Det[{PadRight[ m[b][ℱ[{1, 0, 0}]]["Coefficients"], 3], PadRight[m[b][ℱ[{0, 1, 0}]]["Coefficients"], 3], PadRight[m[b][ℱ[{0, 0, 1}]]["Coefficients"], 3]}], 59]

特性と関係  (7)

は乗算を保持する からへの写像である：

Wolfram Language code: ℱ = FiniteField[79, 3]; {a, b} = {ℱ[123], ℱ[456]}; FiniteFieldElementNorm[a b]
Wolfram Language code: Mod[FiniteFieldElementNorm[a] FiniteFieldElementNorm[b], 79]

a の絶対ノルムは a のすべての共役の積に等しい：

Wolfram Language code: ℱ = FiniteField[17, 4]; a = ℱ[123]; FiniteFieldElementNorm[a]

FrobeniusAutomorphismを使って a の共役を計算する：

Wolfram Language code: Product[FrobeniusAutomorphism[a, k], {k, 0, 3}]

の絶対ノルムは の絶対ノルムに等しい：

Wolfram Language code: ℱ = FiniteField[101, 3]; a = ℱ[123]; FiniteFieldElementNorm[a]
Wolfram Language code: FiniteFieldElementNorm[a ^ 101]

が の 元の部分体なら，は乗算を保持する から への写像である：

Wolfram Language code: ℱ = FiniteField[11, 6]; {a, b} = {ℱ[123], ℱ[456]}; {c, d} = {FiniteFieldElementNorm[a, 3], FiniteFieldElementNorm[b, 3]}

MinimalPolynomialを使って c と d は の元の部分体 に属することを示す：

Wolfram Language code: Exponent[{MinimalPolynomial[c, x], MinimalPolynomial[d, x]}, x]

次は の乗算保持特性を示している：

Wolfram Language code: FiniteFieldElementNorm[a b, 3]
Wolfram Language code: c d

のような体の埋込みを構築する：

Wolfram Language code: 𝒦 = FiniteField[71, 3]; ℱ = FiniteField[71, 6]; 𝒢 = FiniteField[71, 12]; Subscript[ℰ, 1] = FiniteFieldEmbedding[𝒦, ℱ]; Subscript[ℰ, 2] = FiniteFieldEmbedding[ℱ, 𝒢]; Subscript[ℰ, 21] = Subscript[ℰ, 2] @* Subscript[ℰ, 1]; Subscript[ℰ, 21][𝒦[123]] == Subscript[ℰ, 2][Subscript[ℰ, 1][𝒦[123]]]

FiniteFieldElementNormは移行性特性を満足する：

Wolfram Language code: FiniteFieldElementNorm[𝒢[1234], Subscript[ℰ, 21]]
Wolfram Language code: FiniteFieldElementNorm[FiniteFieldElementNorm[𝒢[1234], Subscript[ℰ, 2]], Subscript[ℰ, 1]]

MinimalPolynomial[a,x]xn+cn-1xn-1+⋯+c0なら である：

Wolfram Language code: ℱ = FiniteField[149, 5]; a = ℱ[1234]; FiniteFieldElementNorm[a]
Wolfram Language code: MinimalPolynomial[a, x]
Wolfram Language code: Mod[-Coefficient[%, x, 0], 149]

MinimalPolynomial[a,x,k]xn+cn-1xn-1+⋯+c0なら である：

Wolfram Language code: ℱ = FiniteField[43, 6]; a = ℱ[1234]; FiniteFieldElementNorm[a, 2]
Wolfram Language code: MinimalPolynomial[a, x, 2]
Wolfram Language code: -Coefficient[%, x, 0]
Wolfram Research (2023), FiniteFieldElementNorm, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/FiniteFieldElementNorm.html.

テキスト

Wolfram Research (2023), FiniteFieldElementNorm, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/FiniteFieldElementNorm.html.

CMS

Wolfram Language. 2023. "FiniteFieldElementNorm." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/FiniteFieldElementNorm.html.

APA

Wolfram Language. (2023). FiniteFieldElementNorm. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/FiniteFieldElementNorm.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_finitefieldelementnorm, author="Wolfram Research", title="{FiniteFieldElementNorm}", year="2023", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/FiniteFieldElementNorm.html}", note=[Accessed: 07-October-2026]}

BibLaTeX

@online{reference.wolfram_2026_finitefieldelementnorm, organization={Wolfram Research}, title={FiniteFieldElementNorm}, year={2023}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/FiniteFieldElementNorm.html}, note=[Accessed: 07-October-2026]}