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FiniteFieldElementTrace

FiniteFieldElementTrace

FiniteFieldElementTrace[a]

有限体の元 a の絶対トレースを与える．

FiniteFieldElementTrace[a,k]

a の周辺体の元部分体と相対的な a のトレースを与える．

FiniteFieldElementTrace[a,emb]

有限体埋込み emb と相対的な a のトレースを与える．

詳細

標数 p，上の拡大次数 d の有限体について，a の絶対トレースはで与えられる．はからへの線形写像である．
MinimalPolynomial[a,x]xⁿ+c_n-1x^n-1+⋯+c₀ならである．
FiniteFieldElementTrace[a]はからまでの整数を与える．
標数 p，上の拡大次数 d の有限体について，の元部分体と相対的な a のトレースはで与えられる．ただし，である．はからへの線形写像である．k は d の除数でなければならない．
MinimalPolynomial[a,x,k]xⁿ+c_n-1x^n-1+⋯+c₀,ならである．
FiniteFieldElementTrace[a,k]はの元を与える．
emb=FiniteFieldEmbedding[e₁e₂]なら，FiniteFieldElementTrace[a,emb]は，事実上．emb["Projection"][FiniteFieldElementTrace[a,k]]を与える．ただし，a は e₂の周辺体に属し，k は e₁の周辺体の拡大次数である．

例題

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例 (1)

標数，拡大次数の有限体を表す：

体の元の絶対トレースを求める：

元の部分体と相対的なトレースを求める：

スコープ (2)

有限体の元の絶対トレースを求める：

有限体の元として与えられた絶対トレース：

元の部分体と相対的なトレース：

体の埋込みと相対的なトレースを計算する：

結果はと相対的なトレースを計算してに射影することに等しい：

アプリケーション (1)

線形写像を定義する．からへの線形写像はすべてこの形式である：

の線形性を示す：

特性と関係 (7)

はからへの線形写像である：

a の絶対トレースは a の全共役の和に等しい：

FrobeniusAutomorphismを使って a の共役を計算する：

の絶対トレースはの絶対トレースに等しい：

がの元の部分体なら，はからへの線形写像である：

FiniteFieldEmbeddingを使って元の体をに埋め込む：

なので，以下は c と d がに属することを示す：

以下はの線形性を示す：

となる体の埋込みを構築する：

FiniteFieldElementTraceは移行性特性を満足する：

MinimalPolynomial[a,x]xⁿ+c_n-1x^n-1+⋯+c₀ならである：

MinimalPolynomial[a,x,k]xⁿ+c_n-1x^n-1+⋯+c₀ならである：

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