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FunctionConvexity

FunctionConvexity[f,{x₁,x₂,…}]

実数上の変数 x₁,x₂,…を持つ関数 f の凸性を求める．

FunctionConvexity[{f,cons},{x₁,x₂,…}]

変数が凸領域を表す条件 cons で制約されているときの凸性を求める．

詳細とオプション

凸性は，凸，凹，狭義凸，狭義凹としても知られている．
デフォルトで，次の定義が使われる．

		+1	凸，つまり，すべてのおよびすべてのとについて
		0	アフィン，つまり，すべてのとすべてのとについて
		-1	凹，つまり，すべてのとすべてのとについて
		Indeterminate	凸でも凹でもない

アフィン関数は凸かつ凹である．
StrictInequalitiesTrueと設定すると，以下の定義が使われる．

		+1	狭義凸，つまり，すべてのおよびすべてのとについて，ただし
		-1	狭義凹，つまり，すべてのおよびすべてのとについて，ただし
		Indeterminate	狭義凸でも狭義凹でもない

関数は，制約条件 cons を満足するすべての実数値のについて実数値関数でなければならない．
cons は，凸領域を表す等式，不等式，それらの論理結合を含むことができる．
次は，使用可能なオプションである．

	Assumptions	$Assumptions	パラメータについての仮定
	GenerateConditions	Automatic	パラメータについての条件を生成するかどうか
	PerformanceGoal	$PerformanceGoal	速度あるいは品質を優先するかどうか
	StrictInequalities	False	狭義凸性を必要とするかどうか

次は，GenerateConditionsの可能な設定である．
Automatic 一般的ではない条件のみ

True すべての条件

False 条件なし

None 条件が必要な場合は未評価で返す
PerformanceGoalの可能な設定は"Speed"と"Quality"である．

例題

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例 (3)

一変量関数の凸性を求める：

多変量関数の凸性を求める：

変数が条件によって制約されている関数の凸性を求める：

スコープ (7)

一変量関数：

実数値ではない関数はIndeterminateの凸性を持つ：

この関数は正のについて実数値で凸である：

変数に制約条件がある一変量関数：

関数の狭義凸性：

は凸であるが狭義の凸ではない． $x^2 TemplateBox[{x}, Abs]$ は狭義の凸である：

多変量関数：

変数に制約条件がある多変量関数：

別の領域では同じ関数が凸になる：

記号パラメータを持つ関数：

オプション (5)

Assumptions (1)

FunctionConvexityは以下では条件付きの答を返す：

の値についての凸性をチェックする：

GenerateConditions (2)

デフォルトで，FunctionConvexityは記号パラメータについての条件を生成することがある：

GenerateConditionsNoneとすると，FunctionConvexityは条件付きの結果を返さずに失敗する：

以下は条件付きで有効な結果を条件を述べずに返す：

デフォルトで，すべての条件が報告される：

GenerateConditionsAutomaticとすると，一般的に真である条件は報告されない：

PerformanceGoal (1)

PerformanceGoalを使って潜在的に高価な計算を避ける：

デフォルト設定は使用可能なすべてのテクニックを使って答を出そうとする：

StrictInequalities (1)

デフォルトで，FunctionConvexityは狭義ではない凸性を計算する：

StrictInequalitiesTrueとすると，FunctionConvexityは狭義の符号を計算する：

は凸だが狭義の凸ではない．は狭義の凸である：

アプリケーション (17)

基本的なアプリケーション (8)

の凸性をチェックする：

グラフ上の任意の2点を繋ぐ線分はそのグラフの上にある：

の凸性をチェックする：

グラフ上の任意の2点を繋ぐ線分はそのグラフの下にある：

の凸性をチェックする：

は凸関数でも凹関数でもない：

に制限されたは狭義の凹関数であることを示す：

は凸だが狭義の凸ではない：

正の実数に制限されるはアフィン関数である：

はについて凸だが狭義の凸ではない：

凸性がの関数の和は凸性を有する：

凸関数の否定は凹関数である：

凸関数の最大値は凸である：

アフィン関数は凸であり凹である．したがって，その最大値は凸である：

アフィン関数の最小値は凹である：

二次のはが半正定値であるときかつそのときに限って凸である：

微積分 (2)

が非減少なら，はの凸関数である：

凸関数の導関数は非減少である：

凸関数の第2導関数は非負である：

幾何 (4)

が凸関数 $TemplateBox[{}, Reals]^n->TemplateBox[{}, Reals]$ なら，領域 ${x in TemplateBox[{}, Reals]^n|f(x)<=c}$ は凸である：

ConvexRegionQを使ってが凸領域であることを確かめる：

が凹関数 $TemplateBox[{}, Reals]^n->TemplateBox[{}, Reals]$ なら，領域 ${x in TemplateBox[{}, Reals]^n|f(x)>=c}$ は凸である：

ConvexRegionQを使ってが凸領域であることを確かめる：

が凸関数なら，エピグラフは凸集合である：

ConvexRegionQを使ってが凸領域であることを確かめる：

が凹関数なら，ハイプグラフは凸集合である：

領域は凸である：

最適化 (3)

凸関数の極小値は大域的最小値である：

極小値と最小値の集合は非正の半直線である：

狭義の凸関数は最大で1つの極小値を持つ：

狭義の凸関数は極小値を持たないことがある：

特性と関係 (2)

凸関数のSumとMaxは凸である：

凸関数の第2導関数は非負である：

Dを使って導関数を計算する：

FunctionSignを使って導関数が非負であることを確かめる：

関数と導関数をプロットする：

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