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FunctionConvexity

FunctionConvexity[f,{x₁,x₂,…}]

变量 x₁,x₂,… 为实数，求函数 f 的凸性.

FunctionConvexity[{f,cons},{x₁,x₂,…}]

当变量被表示凸区域的约束条件 cons 限制时，求函数的凸性.

更多信息和选项

凸性亦称为凸、凹、严格凸和严格凹.
默认情况下，可使用以下定义：

		+1	凸，即对于所有的和所有的与，
		0	仿射，即对于所有的和所有的与，
		-1	凹，即对于所有的和所有的与，
		Indeterminate	既不凸，也不凹

仿射函数既是凸的，也是凹的.
如果设置 StrictInequalitiesTrue，可使用以下定义：

		+1	严格凸，即对于所有的和所有的与 ( )，
		-1	严格凹，即对于所有的和所有的与 ( )，
		Indeterminate	既不严格凸，也不严格凹

对于满足约束条件 cons 的所有实的，应为实值函数.
cons 可以包含表示凸区域的等式、不等式或它们的逻辑组合.
可给出以下选项：

	Assumptions	$Assumptions	对参数的设定
	GenerateConditions	Automatic	是否生成关于参数的条件
	PerformanceGoal	$PerformanceGoal	优先考虑速度还是质量
	StrictInequalities	False	是否要求严格凸

GenerateConditions 的可能的设置包括：
Automatic 只给出非通用条件

True 所有条件

False 不给出条件

None 如果需要条件则不经计算直接返回
PerformanceGoal 的可能设置为 "Speed" 和 "Quality".

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (3)

求单变量函数的凸性：

求多变量函数的凸性：

变量受约束条件限制的情况下求函数的凸性：

范围 (7)

单变量函数：

非实值函数的凸性为 Indeterminate：

函数是实值函数，对于所有正的函数是凹的：

变量受约束条件限制的情况下单变量函数的凸性：

函数的严格凸性：

是凸的，但不是严格凸. $x^2 TemplateBox[{x}, Abs]$ 是严格凸函数：

多变量函数：

变量受约束条件限制的情况下多变量函数的凸性：

在不同的区域中，上面的函数是凸的：

含有符号参数的函数：

选项 (5)

Assumptions (1)

此处，FunctionConvexity 给出有条件的答案：

查看取其他值时函数的凸性：

GenerateConditions (2)

默认情况下，FunctionContinuous 可能会对符号参数生成条件：

如果设置 GenerateConditionsNone，FunctionConvexity 会失败，而不是给出有条件的结果：

下面返回有条件的有效结果，但没有给出条件：

默认情况下，报告所有的条件：

如果设置 GenerateConditions->Automatic，不报告通常为真的条件：

PerformanceGoal (1)

用 PerformanceGoal 避免潜在费时的计算：

默认设置则尝试利用所有可用的技术来给出结果：

StrictInequalities (1)

默认情况下，FunctionConvexity 计算的是非严格凸性：

如果设置 StrictInequalitiesTrue，FunctionConvexity 计算严格凸性：

是凸的，但不是严格凸的. 则是严格凸的：

应用 (17)

基本应用 (8)

查看的凸性：

连接图形上任意两点的线段位于图形的上方：

查看的凸性：

连接图形上任意两点的线段位于图形的下方：

查看的凸性：

既不是凸函数，也不是凹函数：

限制于的是严格凹函数：

是凸的，但不是严格凸的

限制于正实数的是仿射函数：

对于，是凸的，但不是严格凸的：

具有凸性的函数之和仍然具有凸性：

对凸函数取反所得的函数是凹的：

凸函数的最大值函数是凸的：

仿射函数即是凸的，也是凹的，因此它的最大值函数是凸函数：

仿射函数的最小值函数是凹函数：

当且仅当为半正定矩阵时，二次型才是凸的：

微积分 (2)

如果非递减，则是的凸函数：

凸函数的导数非递减：

凸函数的二阶导数非负：

几何 (4)

如果是凸函数 $TemplateBox[{}, Reals]^n->TemplateBox[{}, Reals]$ ，则区域 ${x in TemplateBox[{}, Reals]^n|f(x)<=c}$ 是凸的：

用 ConvexRegionQ 验证是凸区域：

如果是凹函数 $TemplateBox[{}, Reals]^n->TemplateBox[{}, Reals]$ ，则区域 ${x in TemplateBox[{}, Reals]^n|f(x)>=c}$ 是凸的：

用 ConvexRegionQ 验证是凸区域：

如果是凸函数，则上境图是凸集：

用 ConvexRegionQ 来验证是凸区域：

如果是凹函数，则亚图是凸集：

区域是凸的：

优化 (3)

凸函数的局部最小值是全局最小值：

局部和全局最小值集是非正半直线：

严格凸函数最多只有一个局部最小值：

严格凸函数可能没有局部最小值：

属性和关系 (2)

凸函数的 Sum 及 Max 仍为凸函数：

凸函数的二阶导数非负：

用 D 计算导数：

用 FunctionSign 验证导数非负：

绘制函数及导数:

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