LQGRegulator

LQGRegulator[sspec,cvs,wts]

重み wts の費用関数を最小にするノイズ共分散行列 cvs を持つ確率系指定 sspec についての最適出力フィードバックコントローラを与える．

LQGRegulator[…,"prop"]

特性"prop"の値を与える．

詳細とオプション

  • LQGRegulatorは，線形二次ガウスコントローラあるいは確率線形コントローラとしても知られている．
  • LQGRegulatorは，ゼロ平均，ガウス，ホワイトのノイズ過程としてモデル化された外乱と測定ノイズを伴う系の調整コントローラあるいは追跡コントローラの計算に使われる．
  • LQGRegulatorは状態入力およびフィードバック入力の二次費用関数および実際の状態と推定された状態の間の誤差の分散の合計を最小化することで作用する．
  • 調整コントローラは系を乱そうとする外乱 uwおよび ueがあっても系を平衡状態に保とうとする．典型的な例として，直立した倒立振子や水平飛行中の航空機等が挙げられる．
  • 調整コントローラは の形の制御規則で与えられる．ただし， は計算されたゲイン行列である．
  • 状態 x の重み q，r，p およびフィードバック入力 ufの二次費用関数は以下で与えられる．
  • 連続時間系
    離散時間系
  • 追跡コントローラは，それを妨害する外乱 uwおよび ueがあっても参照信号を追跡しようとする．典型的な例として，自動車のクルーズコントロールシステムやロボットの経路追跡が挙げられる．
  • 追跡コントローラは の形の制御規則で与えられる．ただし，は系 sys と のダイナミクスを含む拡張系のための計算されたゲイン行列である．
  • 拡張状態 の重み q，r ，p およびフィードバック入力 ufの二次費用関数は以下で与えられる．
  • 連続時間系
    離散時間系
  • 拡張系の状態の数は で与えられる．ただし， は sys のSystemsModelOrderで， は yrefの次数で， は信号 yrefの数で与えられる．
  • 重み行列の選択は，結果としてパフォーマンスと制御努力のトレードオフとなり，優れた設計に反復的に到達する．初期値は成分がTemplateBox[{{1, /, z}, i, 2}, Subsuperscript]の対角行列でよい．ただし，ziは対応する xiまたは uiの許容可能な最大絶対値である．
  • 重み wts は次の形でよい．
  • {q,r}クロスカップリングがない費用関数
    {q,r,p}クロスカップリング行列 p がある費用関数
  • 測定値 ymは としてモデル化できる．ただし，および は に関連付けられた および の部分行列で， はノイズである．
  • 確率的入力 uwおよび測定ノイズ yvは，ゼロ平均，ガウス，ホワイトのノイズであるとみなされる．
  • , 過程ノイズ
    , 測定ノイズ
    相互共分散
  • 共分散行列 cvs は以下の形でよい．
  • {w,v}共分散行列とゼロ相互共分散
    {w,v,h}共分散行列と相互共分散行列
  • 系の指定 sspec は，系 sys と uf，ue，yt，yrefの指定である．
  • 系の指定 sspec は以下の形でよい．
  • StateSpaceModel[…]線形制御入力と線形状態
    AffineStateSpaceModel[…]線形制御入力と非線形状態
    NonlinearStateSpaceModel[…]非線形制御入力と非線形状態
    SystemModel[…]一般的な系のモデル
    <|…|>Associationとして与えられる詳細な系の指定
  • 系の指定の詳細は次のキーを持つことができる．
  • "InputModel"sysモデルの任意のもの
    "FeedbackInputs"Allフィードバック入力 uf
    "ExogenousInputs"None外因的な入力 ue
    "MeasuredOutputs"All測定された出力 ym
    "TrackedOutputs"None追跡された出力 yt
    "TrackedSignal"Automaticyrefのダイナミクス
  • 入力と出力は以下の形でよい．
  • {num1,…,numn}StateSpaceModel，AffineStateSpaceModel，NonlinearStateSpaceModelで使われる番号付きの入力または出力 numi
    {name1,…,namen}SystemModelで使われる名前付きの入力または出力 namei
    Allすべての入力または出力を使う
    None入力または出力は使わない
  • LQGRegulator[…,"Data"]は，cd["prop"]の形で追加的な特性の抽出に使えるSystemsModelControllerDataオブジェクト cd を返す．
  • LQGRegulator[…,"prop"]を使って cd["prop"]の値を直接得ることができる．
  • 次は，特性"prop"の可能な値である．
  • "ClosedLoopPoles""ClosedLoopSystem"の極
    "ClosedLoopSystem"系 csys
    {"ClosedLoopSystem",cspec}閉ループ系の形に対する詳細な制御
    "ControllerModel"モデル cm
    "Design"コントローラ設計のタイプ
    "EstimatorGains"ゲイン行列 ℓ
    "EstimatorGainsDesignModel"推定器ゲインの設計に使われるモデル
    "EstimatorRegulatorFeedbackModel"ue, ymを入力として，を出力として持つモデル
    "EstimatorRegulatorModel"uf, ue, ymを入力として，を出力として持つモデル erm
    "ExogenousInputs"決定論的入力 ueと非フィードバック入力 sys
    "FeedbackGains"ゲイン行列 κ またはそれに相当するもの
    "FeedbackGainsDesignModel"フィードバックゲインの設計に使われモデル
    "FeedbackGainsModel"モデル gm または{gm1,gm2}
    "FeedbackInputs"フィードバックに使われる sys の入力 uf
    "InputModel"入力モデル sys
    "InputCount"sys の入力数 u
    "MeasuredOutputs"sys の測定された出力 ym
    "OpenLoopPoles"テイラー(Taylor )線形化 sys の極
    "OutputCount"sys の出力の数 y
    "SamplingPeriod"sys のサンプリング周期
    "StateEstimatorModel"モデル sem
    "StateOutputEstimatorModel"モデル soem
    "StateCount"sys の x の状態数
    "TrackedOutputs"追跡された sys の出力 yt
  • 次は，cspec の可能なキーである．
  • "InputModel"csys の入力モデル
    "Merge"csys をマージするかどうか
    "ModelName"csys の名前
  • 次は，調整器のレイアウトの線図である．
  • 次は，追跡器のレイアウトの線図である．

例題

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例  (4)

フィードバック入力が uf でプロセスノイズ入力が uw である系の指定 sspec：

ノイズ共分散行列 cvs と調整器の重み wts の集合：

LQGコントローラ：

非線形系：

ノイズ共分散行列 cvs と調整器重み wts の集合：

LQGコントローラ：

フィードバック入力 uf，プロセスノイズ入力 uw ，追跡された出力 ym の系：

ノイズ共分散行列 cvs と調整器重み wts の集合：

LQG追跡コントローラ：

不安定な系：

ノイズ共分散行列 cvs と調整器重み wts の集合：

LQG調整器：

開ループ系と閉ループ系：

安定した閉ループ系と不安定な開ループ系の極は s 平面の左半平面と右半平面にある：

スコープ  (33)

基本的な用法  (4)

1つのフィードバック入力 uf と1つのノイズのある測定値 ym を持つ系：

ノイズのある入力がないので，入力の共分散行列 cvs は空である：

状態入力とフィードバック入力のための重み wts の集合：

調整器を計算する：

完全な系の指定 sspec から調整器を計算する：

1つのフィードバック入力 uf，1つのノイズのある入力 uw，1つのノイズのある測定値 ym がある系：

共分散行列 cvs と重み wts の集合：

調整器を計算する：

外因性の決定論的入力 ue もある系：

共分散行列cvs と重み wts の集合：

調整器を計算する：

一般的な確率系：

共分散行列 cvs と重み wts の集合：

調整器を計算する：

工場モデル  (7)

連続時間StateSpaceModel：

離散時間StateSpaceModel：

ディスクリプタStateSpaceModel：

AffineStateSpaceModel：

NonlinearStateSpaceModel：

SystemModel：

ノイズのある入力があるSystemModel：

系の指定：

調整器設計：

特性  (14)

デフォルトで，LQGRegulatorは推定器と調整器を含むコントローラを返す：

LQGRegulatorを組み立てる：

LQGRegulatorモデル：

フィードバックゲイン：

フィードバックゲインモデル：

フィードバックゲインの計算に使われたモデル：

推定器ゲイン：

状態推定器のモデル：

推定器ゲインの計算に使われたモデル：

非線形系については，推定器の設計に使われるモデルは非線形状態空間モデルである：

フィードバックゲインを設計するモデルは線形である：

これは，本質的にテイラー線形化状態空間モデルである：

コントローラは直列化された推定器ゲインとフィードバックゲインである：

計算されたコントローラも同じである：

閉ループ系：

閉ループ極：

設計方法：

この入力モデルに関連する特性：

コントローラデータオブジェクトを得る：

使用可能な特性のリスト：

特定の特性の値：

追跡  (5)

追跡コントローラを設計する：

閉ループ系は参照信号を追跡する：

離散時間系についての追跡コントローラを設計する：

閉ループ系は参照信号を追跡する：

複数の出力を追跡する：

閉ループ系は異なる2つの参照信号を追跡する：

コントローラ努力を計算する：

コントローラモデル：

コントローラ入力：

コントローラ努力：

希望する参照信号を追跡する：

参照信号の次数は4である：

減衰正弦波：

一次の系の1つの出力を追跡するコントローラを設計する：

状態重み行列 qq の次元は k+m q である：

コントローラを計算する：

閉ループ系は参照を追跡する：

閉ループ系  (3)

1つの外乱入力がある非線形工場モデルのための閉ループ系を組み立てる：

ノイズ共分散行列と調整器重み行列の集合：

閉ループ系：

線形化モデルの閉ループ系：

2つのモデルの応答を比較する：

LQGRegulatorで工場のマージされた閉ループ系を組み立てる：

ノイズ共分散行列と調整器重み行列の集合：

マージされた閉ループ系：

マージされていない閉ループ系：

マージされると前と同じ結果を与えるようになる：

閉ループ系を明示的にマージする：

希望する名前の閉ループ系を作る：

閉ループ系は指定された名前である：

この名前は他の関数で直接使うことができる：

アプリケーション  (11)

機械系  (3)

方位角から戦車の砲塔の角度を調整する：

系のモデル：

砲塔の向きは，次の状態での初期外乱に対しては調整されていない：

系の指定を設定する：

過程の共分散行列とLQG調整器の重みを指定する：

LQG調整器を計算する：

閉ループ系を入手する：

ノイズが多い信号を生成して過程ノイズのシミュレーションを行う：

測定ノイズについてのシミュレーションも行う：

砲塔の角度は調整されている：

コントローラモデルを入手する：

制御努力を評価する：

ロボットアームの動作を調整する：

系のモデル：

コントローラがないと，アームの動きは制御できない：

過程の共分散行列とLQ調整器の重みの集合：

LQG調整器を計算する：

閉ループ系を得る：

ノイズがある信号を生成してセンサーノイズのシミュレーションを行う：

アームの動作は制御されている：

コントローラモデルを入手する：

制御努力を評価する：

ガントリー クレーンの負荷に対する外乱を拒否する：

系のモデル：

ガントリーに外乱力が加わると負荷が前後に揺れる：

設計指定：

ノイズ共分散行列集合：

状態と制御重みの行列の集合：

LQGコントローラを計算する：

閉ループ形を入手する：

ノイズのある信号を生成して過程のノイズのシミュレーションを行う：

センサーノイズのシミュレーションも行う：

外乱は拒否され，振動は減衰された：

コントローラモデルを入手する：

制御努力：

航空宇宙系  (3)

剛体宇宙船のロールとヨーの動きを調整する：

系のモデル：

開ループ応答は調整されていない：

系の指定を設定する：

LQGの設計のための共分散行列と重み行列の集合：

LQG調整器を計算する：

閉ループ系を入手する：

ノイズが多い信号を生成して過程のノイズのシミュレーションを行う：

センサーノイズのシミュレーションも行う：

衛星の軌道はコントローラによって調整されている：

コントローラモデルを入手する：

制御努力：

ラグランジュ点L1から衛星を押し出す外乱を拒否する：

衛星のモデル：

衛星の軌道は η 状態における初期外乱に対して不安定である：

衛星を制御するためには，少なくとも小型ロケットエンジン u_3ともう一つの小型ロケットエンジンが必要である：

系の指定を設定する：

過程の共分散行列とLQ制御重みの集合：

LQG調整器を計算する：

閉ループ系を入手する：

ノイズがある信号を生成して過程のノイズのシミュレーションを行う：

3つの測定ノイズのシミュレーションも行う：

衛星の軌道は η 状態における初期外乱に対して調整されている：

コントローラモデルを入手する：

η 状態の外乱を拒絶する制御努力を計算する：

ヘリコプターモデルのピッチとヨーを安定させる：

系のモデル：

のサンプリング時間で系を離散化する：

ピッチモーターへのステップ入力はピッチとヨーに同時に影響する：

ヨーモーターへのステップ入力も同じである：

ヨーとピッチのモーター電圧に対するフィードバック入力を設定する：

共分散行列の集合：

状態と制御の重み行列の集合：

LQG調整器を計算する：

閉ループ系を得る：

ノイズが多い信号を2つ生成してピッチとヨーの過程ノイズのシミュレーションを行う：

ピッチおよびヨーの位置センサー用にもう2つの信号を生成してシミュレーションを行う：

閉ループ系のピッチステップ応答は安定している：

ヨーステップ応答も同様である：

コントローラモデルを入手する：

制御努力が±24V制限内であることを評価する：

海洋系  (1)

船の回転力学を弱める：

回転力学のモデル：

ステップ応答は振動性が高い：

ボード線図を見ると振動の原因となっている低周波数応答のピークが顕著である：

系の状態空間表現を得る：

振動を弱めるためのLQGコントローラを設計する：

閉ループ系を得る：

ピッチ測定におけるノイズのシミュレーションのためのノイズの多い信号を生成する：

振動は弱まった：

開ループ系と閉ループ系の周波数応答はピークが減衰されていることを示している：

コントローラモデル：

舵によって費やされる制御努力：

生物学系  (1)

オオヤマネコとノウザギの個体数を安定させる：

系のモデル：

オオヤマネコの個体数はゼロの成長率で排除される：

系を指定し，ノイズ共分散行列と制御重みの集合を設定する：

LQGコントローラを計算する：

閉ループ系を得る：

ノイズの多い信号を生成して個体数の測定に不確かさを加える：

閉ループ応答は安定した周期応答になる：

パラメトリックプロットはリミットサイクル動作を示す：

コントローラモデルを得る：

制御努力からノウサギとオオヤマネコの成長率の平衡値が明らかになる：

経済系  (1)

経済モデルを安定させる：

サミュエルソン(Samuelson)の経済モデル：

消費者の支出に対する外乱で経済モデルが不安定になる：

過程の共分散行列とLQG制御重みの集合：

経済モデルを安定させるLQGコントローラを計算する：

閉ループ系を得る：

測定ノイズを生成する：

国民所得は平衡点に達する：

コントローラモデルを得る：

政府支出，自律的な消費，投資を計算する：

化学系  (1)

分解反応 におけるCSTRの動作を改善する：

系のモデル：

この系は虚軸近くに2つの極を持つ：

この結果，温度摂動に対する応答が遅くなる：

系および共分散行列と制御重みの集合を指定する：

LQGコントローラを計算する：

閉ループ系を得る：

閉ループ極は虚軸から遠い：

ノイズのある信号を生成して過程のノイズのシミュレーションを行う：

温度摂動に対する応答は速い：

コントローラモデルを得る：

制御努力を計算する：

電気系  (1)

DCモーダーの速度を調整する：

系のモデル：

サンプリング周期0.1でモデルを離散化する：

トルク外乱に対する開ループ応答のシミュレーションを行う：

系と共分散行列および制御重みの集合を指定する：

LQGコントローラを計算する：

閉ループ系を得る：

ノイズがある信号を生成して過程ノイズのシミュレーションを行う：

センサーノイズのシミュレーションも行う：

閉ループ系への入力：

閉ループ応答は参照値を追跡する：

コントローラモデルを得る：

コントローラ入力：

制御努力はv未満である：

特性と関係  (8)

閉ループの極は推定器および調整器の極である：

閉ループの極：

推定器部分系の極：

調整器部分系の極：

推定器と調整器の極は一緒になって閉ループ系の極を構成する：

外因性入力 から測定値 への閉ループは出力フィードバック系である：

LQGRegulator：

推定器調整器モデル：

加算器ブロックとコンパレータブロック：

から への測定ノイズが の閉ループ系：

これは特性としても得ることもできる：

これらは等しい：

から への閉ループ系：

測定ノイズ から測定値 への閉ループは単位フィードバック系である：

LQGRegulator：

から y_(m)への閉ループ系の伝達関数：

参照入力 が0に設定されたコントローラモデル：

から y_(m)への正の単位フィードバック系の伝達関数：

これは直接入手したものに等しい：

LQGRegulatorはEstimatorRegulatorを使って組み立てられる：

最適推定器ゲインの集合を計算する：

最適調整器ゲインの集合も計算する：

EstimatorRegulatorを使ってLQGRegulatorを組み立てる：

LQGRegulatorは同じ結果を与える：

Kalman推定器と最適状態フィードバックゲインモデルから線形二次ガウス調整器を構築する：

Kalman推定器：

フィードバックゲインモデル：

推定器-制御器を手動で作る：

LQGRegulatorも同じ結果を与える：

LQRコントローラのパフォーマンスは同等のLQGコントローラのそれよりも上である：

LQRコントローラがある閉ループ系：

LQGコントローラがある閉ループ系：

LQRの応答はLQGのそれよりもよい：

LQGコントローラはLQRコントローラほど強力ではない：

カート上の倒立振子のモデル：

系の指定：

ノイズの共分散行列と制御費用行列の集合：

LQGコントローラ：

LQRコントローラ：

名目的系と摂動系の閉ループのLQG閉ループ系：

LQRコントローラの閉ループ系：

LQGがある系の閉ループ応答：

LQRは，名目応答と摂動応答の間の変動が少なく，より強力である：

LQGコントローラのパフォーマンスは共分散行列を調整することで改善できる：

上記の指定による閉ループ系：

共分散行列集合を調整した閉ループ系：

共分散行列を調整すると応答が改善される：

Wolfram Research (2010), LQGRegulator, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/LQGRegulator.html （2023年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (2010), LQGRegulator, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/LQGRegulator.html （2023年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 2010. "LQGRegulator." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2023. https://reference.wolfram.com/language/ref/LQGRegulator.html.

APA

Wolfram Language. (2010). LQGRegulator. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/LQGRegulator.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2024_lqgregulator, author="Wolfram Research", title="{LQGRegulator}", year="2023", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/LQGRegulator.html}", note=[Accessed: 21-November-2024 ]}

BibLaTeX

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