LQRegulatorGains

LQRegulatorGains[sspec,wts]

重みが wts の費用関数を最小化する系の指定 sspec についての状態フィードバックゲインを与える．

LQRegulatorGains[…,"prop"]

特性"prop"の値を与える．

詳細とオプション

  • LQRegulatorGainsは，線形二次調整器，線形二次コントローラ，あるいは最適コントローラとしても知られている．
  • LQRegulatorGainsは，調整コントローラあるいは追跡コントローラの計算に使われる．
  • LQRegulatorGainsは状態入力およびフィードバック入力の二次費用関数を最小化することで作用する．
  • 調整コントローラは，系を乱そうとする外乱 があっても系を平衡状態に保とうとする．典型的な例として，直立した倒立振子や水平飛行中の航空機等が挙げられる．
  • 調整コントローラは の形の制御規則で与えられる．ただし， は計算されたゲイン行列である．
  • 状態 x の重み q，r ，p およびフィードバック入力 ufの二次費用関数は以下で与えられる．
  • 連続時間系
    離散時間系
  • 追跡コントローラは，それを妨害する外乱 があっても参照信号を追跡しようとする．典型的な例として，自動車のクルーズコントロールシステムやロボットの経路追跡が挙げられる．
  • 追跡コントローラは の形の制御規則で与えられる．ただし，は系 sys と のダイナミクスを含む拡張系のための計算されたゲイン行列である．
  • 拡張状態 の重み q，r ，p およびフィードバック入力 ufの二次費用関数は以下で与えられる．
  • 連続時間系
    離散時間系
  • 拡張系の状態の数は で与えられる．ただし， は sys のSystemsModelOrderで， は yrefの次数で， は信号 yrefの数で与えられる．
  • 重み行列の選択は，結果としてパフォーマンスと制御努力のトレードオフとなり，優れた設計に反復的に到達する．初期値は成分がTemplateBox[{{1, /, z}, i, 2}, Subsuperscript]の対角行列でよい．ただし，ziは対応する xiまたは uiの許容可能な最大絶対値である．
  • 重み wts は次の形でよい．
  • {q,r}クロスカップリングがない費用関数
    {q,r,p}クロスカップリング行列 p がある費用関数
  • LQ設計はStateSpaceModelで指定されているように線形系に使うことができる．
  • 連続時間系
    離散時間系
  • 結果のフィードバックゲイン行列 は代数リッカティ(Riccati)方程式から計算される．
  • kappa=TemplateBox[{r}, Inverse].(b_f.x_r+p)連続時間系と は連続時間代数リッカティ方程式 a.x_r+x_r.a-(x_r.b_f+p).TemplateBox[{r}, Inverse].(b_f.x_r+p)+q=0の解である
    kappa=TemplateBox[{{(, {{{{b, _, f}, }, ., {x, _, r}, ., {b, _, f}}, +, r}, )}}, Inverse].(b_f.x_r.a+p)離散時間系と は離散時間代数リッカティ方程式a.x_r.a-x_r-(a.x_r.b_f+p)TemplateBox[{{., {(, {{{{b, _, f}, }, ., {x, _, r}, ., {b, _, f}}, +, r}, )}}}, Inverse].(b_f.x_r.a+p)+q=0の解である
  • 部分行列 bfはフィードバック入力 ufに対応する b の列である．
  • 系の指定 sspec は，系 sys と指定 uf，yt，yrefである．
  • 系の指定 sspec は以下の形でよい．
  • StateSpaceModel[…]線形制御入力と線形状態
    AffineStateSpaceModel[…]線形制御入力と非線形状態
    NonlinearStateSpaceModel[…]非線形制御入力と非線形状態
    SystemModel[…]一般的な系のモデル
    <|…|>Associationとして与えられる詳細な系の指定
  • 系の指定の詳細は次のキーを持つことができる．
  • "InputModel"sysモデルの任意のもの
    "FeedbackInputs"Allフィードバック入力 uf
    "TrackedOutputs"None追跡された出力 yt
    "TrackedSignal"Automaticyrefのダイナミクス
  • フィードバック入力は以下の形でよい．
  • {num1,…,numn}StateSpaceModel，AffineStateSpaceModel，NonlinearStateSpaceModelで使われる番号付きの入力 numi
    {name1,…,namen}SystemModelで使われる名前付きの入力 namei
    Allすべての入力を使う
  • AffineStateSpaceModel，NonlinearStateSpaceModel，SystemModelのような非線形系については， 系は保存された動作点の周りで線形化される．
  • LQRegulatorGains[…,"Data"]は，cd["prop"]の形で追加的な特性の抽出に使えるSystemsModelControllerDataオブジェクト cd を返す．
  • LQRegulatorGains[…,"prop"]を使って cd["prop"]の値を直接得ることができる．
  • 次は，特性"prop"の可能な値である．
  • "ClosedLoopPoles"線形化された"ClosedLoopSystem"の極
    "ClosedLoopSystem"系 csys
    {"ClosedLoopSystem", cspec}閉ループ系の形に対する詳細な制御
    "ControllerModel"モデル cm
    "Design"コントローラ設計のタイプ
    "DesignModel"設計に使われるモデル
    "FeedbackGains"ゲイン行列 κ またはそれに相当するもの
    "FeedbackGainsModel"モデル gm または{gm1,gm2}
    "FeedbackInputs"フィードバックに使われる sys の入力 uf
    "InputModel"入力モデル sys
    "InputCount"sys の入力 u の数
    "OpenLoopPoles""DesignModel"の極
    "OutputCount"sys の出力 y の数
    "SamplingPeriod"sys のサンプリング周期
    "StateCount"sys の状態 x の数
    "TrackedOutputs"トラックされた sys の出力 yt
  • 次は，cspec の可能なキーである．
  • "InputModel"csys の入力モデル
    "Merge"csys をマージするかどうか
    "ModelName"csys の名前
  • 次は，調整器のレイアウトの線図である．
  • 次は，追跡器のレイアウトの線図である．

例題

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例  (3)

フィードバック uf，外因性入力 ueを持つ系の指定 sspec に対する最適フィードバックゲイン：

制御重み q と r の指定の集合に対する最適ゲイン：

指定された制御重み wts の集合に対する非線形系のィードバックゲイン：

非零の作用点のためにこのゲインはオフセットを持つ：

近似線形系のゲインにはオフセットはない：

不安定な系を安定させる：

重み wts の指定の集合についてのコントローラデータオブジェクト：

開ループ系と閉ループ系を比較する：

スコープ  (33)

基本的な用法  (9)

状態と入力に等しい重みを持つ系の状態フィードバックゲインを計算する：

閉ループ系：

不安定な系のゲインを計算する：

ゲインは不安定な系を安定させる：

複数の状態がある系の状態フィードバックゲインを計算する：

結果の次元は入力数と系の次数に対応する：

3状態2入力の系のゲインを計算する：

フィードバック入力の重みを逆にする：

通常，より重みが大きいフィードバック入力の方がノルムが小さい：

費用関数が状態入力とフィードバック入力のクロスカップリングを含む場合のゲインを計算する：

入力が複数の系のフィードバック入力を選ぶ：

最初の入力を選ぶ：

2番目の入力を選ぶ：

安定化可能ではあるが制御不可能である系のフィードバックゲインの集合を計算する：

非線形系のゲインを計算する：

コントローラはベクトルとして返され，動作点を考慮する：

近似線形系のためのコントローラ：

費用が状態入力とフィードバック入力の二次関数として与えられた場合にゲインを計算する：

重み行列は費用関数のヘッシアンである：

ゲインは以下のようになる：

工場モデル  (6)

連続時間StateSpaceModel：

離散時間StateSpaceModel：

ディスクリプタStateSpaceModel：

AffineStateSpaceModel：

NonlinearStateSpaceModel：

SystemModel：

特性  (10)

LQRegulatorGainsはデフォルトでフィードバックゲインを返す：

一般に，フィードバックの状態はアフィンである：

κ.x+λ の形をしている．ただし，κ と λ は定数である：

フィードバックゲインの系のモデル：

フィードバックゲインのアフィン系のモデル：

閉ループ系：

線形化された閉ループ系の極：

状態の重みを大きくするとシステムがより安定する：

フィードバック入力の重みを大きくすると系の安定性が下がる：

フィードバックゲインの計算に使われたモデル：

設計モデルが入力で直接指定されているなら，フィードバックゲインの構造は異なってくる：

設計メソッド：

入力モデルに関連する特性：

コントローラデータオブジェクトを得る：

使用可能な特性のリスト：

特定の特性の値：

Tracking  (5)

追跡コントローラを設計する：

閉ループ系は参照信号を追跡する：

離散時間系のための追跡コントローラを設計する：

閉ループ系は参照信号を追跡する：

複数の出力を追跡する：

閉ループ系は異なる2つの参照信号を追跡する：

コントローラ努力を計算する：

コントローラモデル：

コントローラ入力：

コントローラ努力：

希望する参照信号を追跡する：

次数2の参照信号：

および正弦曲線：

一次の系の1つの出力を追跡するコントローラを設計する：

状態重み行列 qq の次元は k+m q である：

コントローラを計算する：

閉ループ系は参照を追跡する：

閉ループ系  (3)

非線形工場モデルの閉ループ系を組み立てる：

非線形モデルの閉ループ系：

2つの系の応答を比較する：

1つの外乱と1つのフィードバック入力を持つ工場のマージされた閉ループを組み立てる：

マージされていない閉ループ系：

マージされると前と同じ結果を与えるようになる：

マージされた閉ループ系を明示的に指定する：

希望する名前の閉ループ系を作る：

閉ループ系は指定した名前である：

この名前を直接使って他の関数で閉ループモデルを指定することができる：

シミュレーションの結果：

アプリケーション  (11)

力学系  (2)

セグウェイのバランスを取る：

倒立振子としてモデル化された系：

摂動するとセグウェイは転倒する：

系を離散化する：

平衡コントローラを設計する：

閉ループ系を得る：

非零の初期条件に対してバランスが取れた系の応答を計算する：

コントローラモデルを得る：

制御努力を計算する：

車のサスペンションの減衰を調整する：

系のモデル：

路面の凸凹に対するサスペンションの応答は非常に顕著である：

アクティブな減衰力を唯一のフィードバック入力として設定する：

応答の振動を減衰させる最適コントローラを設計する：

閉ループ系を得る：

減衰された応答をプロットする：

制御努力を計算する：

電気機械系  (4)

ボールを平衡点で浮揚させる：

平衡点が の系のモデル：

フィードバックがないとボールは落ちる：

入力電圧を唯一のフィードバック入力として設定する：

ボールを浮揚させるためのフィードバックコントローラを設計する：

閉ループ系を得る：

ボールは平衡点 で浮揚する：

ボールの速度と電磁石の電流：

コントローラモデルを得る：

制御努力：

モーターの角度位置を調整する：

モーターのモデル：

モーターの角度位置はトルク外乱に対して調整されていない：

外乱を排除するコントローラを設計する：

閉ループモデル：

外乱は排除された：

コントローラ努力：

ボールとビームの系を調整する：

系のモデル：

系を離散化する：

ビームが水平でなければボールは転がってしまう：

ボールをもとの位置に戻す状態フィードバックコントローラを設計する：

閉ループ系を得る：

制御された系はボールをもとの位置に返す：

制御努力：

正弦波を追跡するアナログゲージを設計する：

系のモデル：

追跡する正弦波信号：

電流を唯一の入力として，正弦波信号を追跡信号として設定する：

正弦波を追跡するコントローラを設計する：

閉ループ系：

ゲージのモデルは追跡信号を追う：

コントローラモデル：

コントローラ入力：

制御努力：

航空宇宙系  (2)

航空機の操縦性を向上させる：

航空機のモデル：

ピッチ角の外乱に対する開ループ応答は安定するまでにおよそ秒かかる：

調整器ゲインと推定器ゲインの集合を計算する：

推定器調整器を組み立てる：

閉ループ系：

操縦応答が改善された：

制御努力：

ヘリコプターの縦方向のダイナミクスを安定させる：

ヘリコプターのダイナミクスのモデル：

平面の右辺には極が3つある：

したがって，前方ピッチ角の変化に対する不安定な応答：

ピッチ角を安定させるために最適コントローラを設計する：

閉ループ系を得る：

閉ループ系は安定している：

ピッチ角はコントローラによって安定した：

制御努力：

電気系  (1)

アクティブな電力フィルタを調整する：

系のモデル：

開ループ極の位置は系が安定していることを示している：

しかし，系の応答は1000rad/sに近い周波数でほぼ共振している：

応答を調整するためにゲインを上げてコントローラーの集合を設計する：

閉ループ系：

閉ループ極の位置：

閉ループ極をプロットする：

重みが増加するにつれて，応答は1000rad/s近くでより減衰するようになた：

化学系  (1)

混合タンク内の応答を改善する：

系の離散時間モデル：

初期条件の集合に対する開ループ応答は遅い：

応答を改善するためにコントローラを設計する：

閉ループ系：

応答が速くなった：

制御努力：

航海  (1)

ボートの向きを調整する：

系の状態空間モデル：

極は系がほとんど安定していないことを示している：

向きは，非零の初期条件の平衡から外れている：

フィードバックコントローラを設計して船の向きを調整する：

閉ループ系：

閉ループ系は向きの角度を調整する：

コントローラモデル：

制御努力：

特性と関係  (24)

状態フィードバックゲインは負のフィードバックについて計算される：

負のフィードバック の閉ループ極：

これらは計算された極と同じである：

閉ループ系は状態フィードバックを使って得られる：

これを特性として直接得る：

非線形系では，ゲインはアフィンで の形である：

アフィンゲイン：

線形化された系のゲインは線形での形である：

アフィンゲインはを解くことで得ることができる：

LQR設計ではゲインと位相マージンが保証されている：

ループゲインモデル：

ゲイン余白はである：

位相余白は少なくともである：

これは，ナイキスト線図が常にを中心とする単位円の外側にあるからである：

制御可能な標準StateSpaceModelは状態フィードバックを使って完全に制御できる：

コントローラのゲイン：

閉ループ極と開ループ極：

制御可能な非特異記述子StateSpaceModelも完全に制御できる：

コントローラのゲイン：

閉ループ極と開ループ極：

制御不可能な標準StateSpaceModelの部分系のみが制御可能である：

固有値は制御できるがは制御できない：

制御不可能な固有値は影響されない：

特異記述子系の制御可能な遅い部分系だけが制御できる：

遅い部分系の次元：

安定化重みの集合：

速い部分系に対応するゲインはである：

遅い部分系の極は移動されるが，速い部分系のにある極は変化しない：

系全体は制御できず，その次数は状態数未満である：

制御不可能な遅い部分系を持つ非特異記述子系は全く制御できない：

遅い部分系の次元：

安定させる重みの集合：

極はどれも変化していない：

安定化可能な系は状態フィードバックを使って安定させられる：

固有値の1つは不安定である：

不安定な固有値：

この系は制御不可能だが安定化可能である：

LQRegulatorGainsは系の安定化ゲインが計算できる：

状態フィードバックは不安定な固有値を左半平面にもたらし，他の半空間を変更せずに残す：

連続時間系については，ゲインはRiccatiSolveを使って計算される：

LQRegulatorGainsも同じ結果を与える：

離散時間系については，ゲインはDiscreteRiccatiSolveを使って計算される：

LQRegulatorGainsも同じ結果を与える：

状態重みが大きくなると状態応答が速くなる：

制御努力も大きくなる：

制御重みが大きくなると状態応答は遅くなる：

制御努力も小さくなる：

安定した系では，制御重みが大きくなると閉ループ極が開ループ極に近付く：

閉ループ極から開ループ極までの距離：

不安定な系では，制御重みが大きくなる閉ループ極が負の開ループ極に近付く：

閉ループ極から負の開ループ極までの距離：

LQRegulatorGainsおよびFullInformationOutputRegulatorは同じ結果を与える：

LQRegulatorGainsおよびStateFeedbackGainsは1入力の系に対して同じ結果を与える：

LQRegulatorGains設計の閉ループ極があるStateFeedbackGains：

LQRegulatorGainsは同じゲインを与える：

推定器調整器はLQRegulatorGainsとEstimatorGainsを使って組み立てられる：

調整器ゲインと推定器ゲインを計算する：

計算したゲインを使って推定器調整器を入手する：

最適費用 はリャプノフ(Lyapunov)関数である：

そのヘッシアンは正定値である：

最適費用曲面：

状態応答：

最適費用曲面に投影された状態の軌跡は漸近的に原点に近付く：

最適費用は，無限の地平線ハミルトン・ヤコビ・ベルマン(Hamilton–Jacobi–Bellman, HJB)の式を満足する：

最適状態軌跡：

最適共状態軌跡：

最適費用軌跡：

最適入力軌跡：

HJB方程式：

最適入力は極値である：

HJB方程式の解：

リャプノフ解を選ぶ：

解は最適費用である：

HJB解に基づく入力は計算された最適入力である：

HJB解に基づく共状態は計算された最適共状態である：

最適解は を満足する．ただし， はハミルトニアンである：

状態の最適解：

共状態：

入力：

これらは0に収束する：

どれも を満足する：

最適入力はハミルトニアンを最小にする．したがって，である：

状態フィードバックは系の入力ブロッキング特性を変更しない：

系の零点：

指定された重みの集合についての閉ループ系：

解ループ系と閉ループ系のどちらも入力Sin[2t]をブロックする：

ρ c.c x(t)2+u(t)2t を最小にする重み は，結果として極が対称根軌跡で与えられる閉ループ系になる：

対称根軌跡プロット：

パラメータ値 についてのプロットの極は閉ループ系の極である：

考えられる問題  (4)

が虚軸上に観測不能なモードを持つなら，連続時間解は存在しない：

固有値0は観測不能である：

が単位円上に観測不能なモードを持つなら離散時間解は存在しない：

固有値1は観測不能である：

制御重み行列が正定値行列でなければゲイン計算はできない：

正定値制御重み行列を使う：

安定していない系の最適調整器を計算することは不可能である：

Wolfram Research (2010), LQRegulatorGains, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/LQRegulatorGains.html （2021年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (2010), LQRegulatorGains, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/LQRegulatorGains.html （2021年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 2010. "LQRegulatorGains." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2021. https://reference.wolfram.com/language/ref/LQRegulatorGains.html.

APA

Wolfram Language. (2010). LQRegulatorGains. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/LQRegulatorGains.html

BibTeX

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BibLaTeX

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