LQRegulatorGains

LQRegulatorGains[sspec,wts]

为使用权重 wts 最小化代价函数的系统规范 sspec 给出状态反馈增益.

LQRegulatorGains[…,"prop"]

给出属性 "prop" 的值.

更多信息和选项

  • LQRegulatorGains 也称为线性二次调节器、线性二次控制器或最优控制器.
  • LQRegulatorGains 用于计算调节控制器或跟踪控制器.
  • LQRegulatorGains 通过最小化状态和反馈输入的二次成本函数起作用.
  • 调节控制器旨在有扰动 将其推开的情况下将系统保持在平衡状态. 典型范例包括将倒立摆保持在直立位置或保持飞机水平飞行.
  • 调节控制器由形式为 的控制律给出，其中 是计算的增益矩阵.
  • 状态 x 和反馈输入 uf 的权重为 q、r 和 p 的二次成本函数：
  • 连续时间系统
    离散时间系统
  • 跟踪控制器旨在有扰动 干扰的情况下跟踪参考信号. 典型的范例包括汽车的巡航控制系统或机器人的路径跟踪.
  • 跟踪控制器由形式为 的控制律给出，其中 是为增强系统计算的增益矩阵，包括系统 sys 以及 .
  • 增强状态 和反馈输入 uf 的权重为 q, r and p 的二次成本函数：
  • 连续时间系统
    离散时间系统
  • 增广系统的状态数由 给出，其中 由 sys 的 SystemsModelOrder 给出， 由 yref 的阶数给出， 由信号 yref 的数量给出.
  • 权重矩阵的选择会导致性能和控制效果之间的折衷，并通过迭代获得好的设计. 其起始值可以是带有项 TemplateBox[{{1, /, z}, i, 2}, Subsuperscript] 的对角矩阵，其中 zi 是对应的 xi 或 ui 的最大允许绝对值.
  • 权重 wts 可有如下形式：
  • {q,r}无交叉耦合的代价函数
    {q,r,p}有交叉耦合矩阵 p 的代价函数
  • LQ 设计可以用于 StateSpaceModel 指定的线性系统：
  • 连续时间系统
    离散时间系统
  • 得到的反馈增益矩阵 然后根据代数黎卡提方程进行计算：
  • kappa=TemplateBox[{r}, Inverse].(b_f.x_r+p)连续时间系统和 是连续时间代数黎卡提方程 a.x_r+x_r.a-(x_r.b_f+p).TemplateBox[{r}, Inverse].(b_f.x_r+p)+q=0 的解
    kappa=TemplateBox[{{(, {{{{b, _, f}, }, ., {x, _, r}, ., {b, _, f}}, +, r}, )}}, Inverse].(b_f.x_r.a+p)离散时间系统和 是代数黎卡提方程 a.x_r.a-x_r-(a.x_r.b_f+p)TemplateBox[{{., {(, {{{{b, _, f}, }, ., {x, _, r}, ., {b, _, f}}, +, r}, )}}}, Inverse].(b_f.x_r.a+p)+q=0 的解.
  • 子矩阵 bf 是对应反馈输入 uf 的 b 的列.
  • 系统规范 sspec 是系统 sys 以及 uf、yt 和 yref 规范.
  • 系统规范 sspec 可有如下格式：
  • StateSpaceModel[…]线性控制输入和线性状态
    AffineStateSpaceModel[…]线性控制输入和非线性状态
    NonlinearStateSpaceModel[…]非线性控制输入和非线性状态
    SystemModel[…]通用系统模型
    <|…|>以 Association 形式给出的具体系统规范
  • 具体系统规范会有如下密钥：
  • "InputModel"sys模型中的任意一个
    "FeedbackInputs"All反馈输 uf
    "TrackedOutputs"None跟踪输出 yt
    "TrackedSignal"Automaticyref 的动态
  • 反馈输入可有如下形式：
  • {num1,…,numn}StateSpaceModel、AffineStateSpaceModel 和 NonlinearStateSpaceModel 使用的有编号的输入 numi
    {name1,…,namen}SystemModel 使用的有名输入 namei
    All使用所有输入
  • 对于诸如 AffineStateSpaceModel、NonlinearStateSpaceModel 和 SystemModel 这样的非线性系统而言，系统会围绕其储存工作点进行线性化.
  • LQRegulatorGains[…,"Data"] 返回可使用形式 cd["prop"] 来提取额外属性的 SystemsModelControllerData 对象 cd.
  • LQRegulatorGains[…,"prop"] 可用于直接给出 cd["prop"] 的值.
  • 属性 "prop" 的可能值包括：
  • "ClosedLoopPoles"线性化 "ClosedLoopSystem" 的极点
    "ClosedLoopSystem"系统 csys
    {"ClosedLoopSystem", cspec}对闭环系统形式的具体控制
    "ControllerModel"模型 cm
    "Design"控制器设计的类型
    "DesignModel"设计使用的模型
    "FeedbackGains"增益矩阵 κ 或其等价物
    "FeedbackGainsModel"模型 gm 或 gm1,gm2}
    "FeedbackInputs"用于反馈的 sys 的输入 uf
    "InputModel"输入模型 sys
    "InputCount"sys 的输入 u 的数量
    "OpenLoopPoles""DesignModel" 的极点
    "OutputCount"sys 的输出 y 的数量
    "SamplingPeriod"sys 的取样周期
    "StateCount"sys 的状态 x 的数量
    "TrackedOutputs"sys 的被跟踪的输出 yt
  • cspec 的可能密钥包括：
  • "InputModel"csys 中的输入模型
    "Merge"是否合并 csys
    "ModelName"csys 的名称
  • 调节器布局图.
  • 跟踪器布局图.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例  (3)

具有反馈 uf 和外生输入 ue 的系统规范 sspec 的最佳反馈增益：

一组指定控制权重 q 和 r 的最佳增益：

对于一组指定的控制权重 wts，非线性系统的反馈增益：

由于非零工作点的存在，增益存在偏移：

近似线性系统的增益没有偏移：

使不稳定的系统稳定：

一组指定权重 wts 的控制器数据对象：

比较开环和闭环极点：

范围  (33)

基础用法  (9)

用相等权重的状态和输入计算系统的状态反馈增益：

闭环系统：

计算不稳定系统的增益：

增益稳定该不稳定系统：

为多状态系统计算状态反馈增益：

得到结果的维数与输入和系统阶数对应：

为一个有 3 个状态和 2 个输入的系统计算增益：

倒转反馈输入的权重：

通常而言，反馈输入的权重越大模越小：

计算当代价函数包含状态和反馈输入的交叉耦合时的增益：

为多输入系统选择反馈输入：

选择第一个输入：

选择第二个输入：

计算一个稳定但不可控系统的反馈增益集：

为非线性系统计算增益：

控制器以向量形式返回，并考虑工作点：

近似线性系统的控制器：

计算当成本作为状态和反馈输入的二次函数给出时的增益：

权重矩阵是成本函数的黑塞（Hessian）矩阵：

增益：

受控对象模型  (6)

连续时间 StateSpaceModel：

离散时间 StateSpaceModel：

描述符 StateSpaceModel：

AffineStateSpaceModel:

NonlinearStateSpaceModel:

SystemModel:

属性  (10)

LQRegulatorGains 默认返回反馈增益：

通常来说，反馈在状态中仿射：

形式为 κ.x+λ，其中 κ 和 λ 为常数：

反馈增益的系统模型：

反馈增益的仿射系统模型：

闭环系统：

线性化闭环系统的极点：

状态的权重增加会使得系统更加稳定：

输入权重的增加会使得系统更不稳定：

用于计算反馈增益的模型：

如果在输入中直接指定设计模型，则反馈增益结构会有所不同：

设计方法：

与输入模型相关的属性：

获取控制器数据目标：

可用属性列表：

特定属性值：

跟踪  (5)

设计一个跟踪控制器：

闭环系统跟踪参考信号 ：

为离散时间系统设计一个跟踪控制器：

闭环系统跟踪参考信号 ：

跟踪多个输出：

闭环系统跟踪两个不同的参考信号：

计算控制器效果：

控制器模型：

控制器输入：

控制器效果：

跟踪所需的参考信号：

参考信号为 2 阶：

和一条正弦曲线：

设计控制器来跟踪一阶系统的一个输出：

状态权重矩阵 qq 的维数为 k+m q：

计算控制器：

闭环系统跟踪参考：

闭环系统  (3)

为非线性受控对象模型模拟闭环系统：

有线性化模型的闭环系统：

比较两个系统的响应：

使用一个干扰和一个反馈输入模拟受控对象的合并闭环：

未合并闭环系统：

当合并时，会给出和之前一样的结果：

明确指定合并闭环系统：

使用一个合适的名字创建闭环系统：

闭环系统有特定的名称：

这个名称可以直接用于指定其他函数中的闭环模型：

模拟结果：

应用  (11)

机械系统  (2)

平衡一个赛格威系统：

系统建模为倒立摆：

赛格威在受到干扰时会翻倒：

系统离散化：

设计一个平衡控制器：

获得闭环系统：

计算平衡系统对非零初始条件的响应：

获取控制器模型：

计算控制效果：

调整汽车悬架的阻尼：

系统模型：

悬架对道路颠簸的反应非常明显：

将主动阻尼力设置为唯一的反馈输入：

设计一个最优控制器来抑制响应中的振荡：

获得闭环系统：

绘制阻尼响应：

计算控制效果：

机电系统  (4)

使球围绕平衡点悬浮：

平衡点 的系统模型：

没有反馈，球就会掉下来：

将输入电压设置为唯一的反馈输入：

设计一个反馈控制器来使球悬浮：

获得闭环系统：

球悬浮到平衡点 ：

球的速度和电磁铁的电流：

获取控制器模型：

控制效果：

调节电机的角位置：

电机型号：

电机的角位置不受扭矩干扰的调节：

设计一个控制器来抑制干扰：

闭环模型：

抑制干扰：

控制器效果：

调节球和梁系统：

系统模型：

离散化系统：

如果梁不保持水平，则球会滚开：

设计一个状态反馈控制器，使球返回其原始位置：

获得闭环系统：

受控系统将球返回到其原始位置：

控制效果：

设计一个跟踪正弦曲线的模拟仪表：

系统模型：

要跟踪的正弦信号：

将电流设置为唯一输入，将正弦信号设置为跟踪信号：

设计一个跟踪正弦信号的控制器：

闭环系统：

仪表的运动遵循跟踪信号：

控制器模型：

控制器输入：

控制工作：

航空航天系统  (2)

提高飞机的操控质量：

飞机模型：

对俯仰角扰动的开环响应需要大约 秒才能稳定：

计算一组调节器和估计器增益：

组装一个估算器-调节器：

闭环系统：

处理响应得到改进：

控制效果：

稳定直升机的纵向动力学：

直升机动力学模型：

平面右侧有 3 个极点：

因此，它对前俯角变化的响应不稳定：

设计一个最优控制器来稳定桨距角：

获得闭环系统：

闭环系统是稳定的：

桨距角由控制器稳定：

控制力度：

电子系统  (1)

调整有源功率滤波器：

系统模型：

开环极点位置表明系统是稳定的：

然而，系统的响应在接近 1000 rad/s 的频率下接近共振：

设计一组增益不断增加的控制器来调整响应：

闭环系统：

闭环极点位置：

绘制闭环极点：

随着重量的增加，响应会更好地衰减接近 1000 rad/s：

化学系统  (1)

改善混合罐的响应：

系统的离散时间模型：

对一组初始条件的开环响应很慢：

设计一个控制器来改善响应：

闭环系统：

响应速度更快：

控制效果：

航海系统  (1)

调节船的航向：

系统的状态空间模型：

极点表明系统勉强稳定：

对于非零初始条件，航向角偏离平衡：

设计一个反馈控制器来调节船的航向：

闭环系统：

闭环系统调节航向角：

控制器模型：

控制效果：

属性和关系  (24)

计算负反馈的最佳增益：

具有负反馈的闭环极点 ：

其与计算的极点相同：

使用状态反馈获得闭环系统：

直接作为属性获取：

对于非线性系统，增益是仿射的，其形式为 ：

仿射增益：

线性化系统的增益是线性的，形式为 ：

仿射增益通过求解 获得：

LQR 设计有可以确保的增益和相位裕度：

环路增益模型：

增益裕度为 ：

相位裕度至少为 ：

这是因为奈奎斯特图总是位于以 为中心的单位圆之外：

可以使用状态反馈完全控制可控标准 StateSpaceModel：

控制器的增益：

闭环和开环极点：

可控的非奇异描述符 StateSpaceModel 也可以被完全控制：

控制器的增益：

闭环和开环极点：

只能控制不可控的标准 StateSpaceModel 的子系统：

特征值 可控，而 不是：

不可控的特征值 不受影响：

只能控制奇异描述符系统的可控慢子系统：

慢子系统的维数：

稳定化权重组：

快速子系统对应的增益为 ：

移动了慢子系统的极点，但快子系统的 处的极点保持不变：

完整的系统是不可控的，其阶数小于状态数：

具有不可控慢子系统的奇异描述符系统完全不可控：

慢子系统的维数：

稳定化权重组：

没有改变任何极点：

可以使用状态反馈来稳定可稳定系统：

其中一个特征值不稳定：

不稳定的特征值：

系统不可控但可稳定化：

LQRegulatorGains 可以计算系统的稳定增益：

状态反馈将不稳定的特征值带到左半平面，而另一个保持不变：

对于连续时间系统，使用 RiccatiSolve 计算增益：

LQRegulatorGains 给出相同的结果：

对于离散时间系统，使用 DiscreteRiccatiSolve 计算增益：

LQRegulatorGains 给出相同的结果：

较大的状态权重会使状态响应更快：

以及明显的控制效果：

较大的控制权重会使状态响应更慢：

且控制作用会更弱：

对于稳定的系统，控制权重越大会导致闭环极点接近开环极点：

闭环极点到开环极点的距离：

对于不稳定的系统，控制权重越大会导致闭环极点接近开环极点的负值：

闭环极点与开环极点负极的距离：

LQRegulatorGains 和 FullInformationOutputRegulator 给出相同结果：

LQRegulatorGains 和 StateFeedbackGains 对单输入系统产生相同的结果：

StateFeedbackGains 与 LQRegulatorGains 设计的闭环极点：

LQRegulatorGains 给出相同增益：

使用 LQRegulatorGains 和 EstimatorGains 组装估计器-调节器：

计算调节器和估计器增益：

使用计算得到的增益获取估计器-调节器：

最优成本 是李雅普诺夫 (Lyapunov) 函数：

其黑塞 (Hessian) 矩阵为正定：

最优成本曲面：

状态响应：

投影在最优成本曲面上的状态轨迹渐近于原点：

最优成本满足无限水平线哈密顿-雅可比-贝尔曼 (HJB) 方程：

最优状态轨迹：

最优共态轨迹：

最优成本轨迹：

最优输入轨迹：

HJB 方程：

最优输入是极值：

HJB 方程的解：

选择李雅普诺夫解：

解为最优成本：

基于 HJB 解的输入是计算得到的最优输入：

基于 HJB 解的共态是计算出的最优共态：

最优解满足 ，其中 是哈密顿量：

状态的最优解：

共同状态：

与输入：

它们收敛于零：

满足 ：

最优输入最小化哈密顿量，从而满足 ：

状态反馈不会改变系统的输入阻塞特性：

系统的零点：

特定权重组的闭环系统：

开环和闭环系统都阻塞输入 Sin[2t]：

最小化 ρ c.c x(t)2+u(t)2t 的权重 会产生一个闭环系统，其极点由对称根轨迹给出：

对称根轨迹图：

参数值 的图中，极点是闭环系统的极点：

可能存在的问题  (4)

如果 在虚轴上有不可观测模式，则没有连续时间解：

不可观测零特征值：

如果 在单位圆上有不可观测模式，则没有离散时间解：

不可观测特征值 1：

若控制权重矩阵并非正定，则增益计算失败：

使用正定控制权重矩阵：

不可能为不稳定的系统计算最优调节器：

Wolfram Research (2010)，LQRegulatorGains，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/LQRegulatorGains.html （更新于 2021 年）.

文本

Wolfram Research (2010)，LQRegulatorGains，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/LQRegulatorGains.html （更新于 2021 年）.

CMS

Wolfram 语言. 2010. "LQRegulatorGains." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2021. https://reference.wolfram.com/language/ref/LQRegulatorGains.html.

APA

Wolfram 语言. (2010). LQRegulatorGains. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/LQRegulatorGains.html 年

BibTeX

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BibLaTeX

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