Enable JavaScript to interact with content and submit forms on Wolfram websites. Learn how

LaplacianPDETerm

LaplacianPDETerm[vars]

表示具有模型变量 vars 的拉普拉斯项 .

LaplacianPDETerm[vars,pars]

使用模型参数 pars.

更多信息

拉普拉斯项是一个微分算子项，用于描述许多物理现象，例如电势、传热、声学、结构力学和流体动力学等.
LaplacianPDETerm 返回微分算子的总和，以用作偏微分方程的一部分：

LaplacianPDETerm 可以用来建模拉普拉斯方程，其中因变量为，自变量为，时间变量为 .
平稳模型变量 vars 为 vars={u[x₁,…,x_n],{x₁,…,x_n}}.
与时间相关的模型变量 vars 为 vars={u[t,x₁,…,x_n],{x₁,…,x_n}} 或 vars={u[t,x₁,…,x_n],t,{x₁,…,x_n}}.
拉普拉斯项被实现为扩散系数为的 DiffusionPDETerm，得到 .
可给出以下参数 pars：
参数默认符号

"RegionSymmetry" None
参数 "RegionSymmetry" 的一个可能选择为 "Axisymmetric".
"Axisymmetric" 区域对称性代表了一个截断的圆柱坐标系，其中圆柱坐标通过去除角度变量而被化简，如下所示：
维数约化 方程式

1D

2D
扩散系数影响 NeumannValue 的意义.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (2)

定义平稳拉普拉斯项：

求拉普拉斯项的特征值：

范围 (3)

设置与时间相关的拉普拉斯项：

定义一个二维轴对称静止的拉普拉斯项：

Activate 激活该项：

使用组成拉普拉斯项的算子验证轴对称情况是使用截断的圆柱坐标系的结果：

在三维外壳中求拉普拉斯项的特征值和向量：

可视化结果：

应用 (1)

求解半径为 5 的有限圆柱体内的拉普拉斯方程. 分析的区域是一个三维实体圆柱体，但由于该区域是围绕轴旋转对称的，可以使用轴对称静止 LaplacianPDETerm，因此该区域可以用二维的截断圆柱坐标进行定义.

设置该区域：

设定 PDE 模型：

解方程，并计算这样做所需的时间和内存：

将轴对称的结果可视化：

打印计算需要的总时间和计算期间使用的兆字节数：

求解二维轴对称 PDE 模型的时间和内存的计算成本比全三维模型要少很多. 创建完整的三维区域：

设置三维模型：

求解完整的三维模型，同时改变边界位置，以精细化符号区域的最佳近似和关键区域：

打印计算所需的总时间和计算期间使用的兆字节数：

可视化三维解的结果：

比较两种情况下所需的时间和内存：

可视化两种解之间的差异：

可能存在的问题 (1)

不存在轴对称的三维情况：

巧妙范例 (1)

通过解决拉普拉斯方程，找到穿过迷宫的方法. 设置一个迷宫：

将迷宫的图形转换为网格：

求解拉普拉斯方程组，入口是值为 1 的 DirichletCondition，出口是值为 0 的 DirichletCondition. 求区域边界，以设置 DirichletCondition 的位置：

求解方程组：

可视化穿过迷宫的路线：

顶部