计算非交换代数上的 Gröbner 基：

证明多项式生成整个代数：

Gröbner 基的有限性可能取决于单项式序：

带有交换变量和标量变量的代数上的 Gröbner 基：

polys 在 Gröbner 基的模下约化为零：

在具有符号属性名称的代数上的 Gröbner 基：

polys 在 Gröbner 基的模下约化为零：

化简一个包含 矩阵 和 的表达式：

找出该表达式中的逆元：

生成由逆元素满足的关系：

选择一个变量顺序，将最复杂的变量放在最前面：

计算由这些关系生成的理想在 矩阵代数上的 Gröbner 基:

将该表达式对 Gröbner 基进行模约化，结果显示它等于单位矩阵：

使用 ArraySimplify 自动完成上述化简步骤：

证明 Woodbury 矩阵恒等式：

在标准表述中， 为 矩阵， 为 矩阵，其中 ， 为 矩阵， 为 矩阵. 然而，通过将 、 和 替换为分块矩阵 、 和 ，可以假设所有矩阵都属于 阶矩阵的代数. 将证明该恒等式两边的差在由矩阵逆的性质所隐含的关系生成的理想的 Gröbner 基下约化为零.

计算 Woodbury 矩阵恒等式两边的差值 ：

求 中的逆元：

生成由逆元所满足的关系：

选择一个变量顺序，将最复杂的变量放在最前面：

计算由这些关系在 矩阵代数上生成的理想的 Gröbner 基：

对 进行基于 Gröbner 基的模约化. 结果是零矩阵，这证明了该恒等式：

使用 ArraySimplify 自动完成上述化简步骤：

构造一个有限表示群. 双循环群 由生成元 和关系 给出. 的群代数由四个生成元给出：

这些生成元满足以下关系：

计算由这些关系生成的理想 Gröbner 基：

注意，将任意单项式对 Gröbner 基进行取模约简后，所得单项式不会包含 和 . 这表明，对 和 的任意次数为 的单项式进行约简，得到的单项式的总次数最多为 ：

因此，群的所有元素都可以表示为次数最多为 的约简单项式：

已经证明 是一个阶为 的有限群：

在 Clifford 代数 中计算. 该代数有六个生成元：

这些生成元满足以下关系：

该关系集是一个Gröbner基：

计算 的规范表示：

证明 是幂等的：

计算 的规范表示形式：

证明 是幂零的：

在与二元多项式微分环相关的 Weyl 代数中进行计算. 该代数有四个生成元：

这些生成元满足以下关系：

该关系集是一个 Gröbner 基：

计算 和 的规范表示形式：

计算 的规范表示：

Weyl 代数的元素对应于微分算子，其乘积表示算子的复合：

验证与 对应的算子是与 和 对应的算子的组合：

Gröbner 基生成与输入多项式相同的理想：

使用 NonCommutativePolynomialReduce 来证明 p 在由 gb 生成的理想中：

将 p 构建为基元素的组合：

使用 GroebnerBasis 计算交换多项式的 Gröbner 基：