Sinh

Sinh[z]

z の双曲線正弦を与える．

詳細

数値操作・記号操作の両方に適した数学関数である．
ある特定の引数については，Sinhは自動的に厳密値に評価する．
Sinhは，任意の数値精度で評価することができる．
Sinhは自動的にリストに縫い込まれる． »
SinhはIntervalオブジェクトおよびCenteredIntervalオブジェクトに使うことができる． »

予備知識

Sinhは，双曲線正弦関数である．これは，三角法で頻繁に使われる，Sin円関数の双曲線バージョンのようなものである．これは，実数について，の面積が，単位双曲線と交わる原点からの放射線と軸との間の面積の2倍になるようにすることで定義される．そうすると，Sinh[α]は交点の垂直座標を表す．Sinhはとしても定義される．ただし，は自然対数Logの底である．
Sinhは，その引数が有理数の（自然）対数であるときは，自動的に厳密値に評価される．引数として厳密な数式が与えられると，Sinhは任意の数値精度に評価されることがある．Sinhを含む記号式の操作に便利なその他の演算には，TrigToExp，TrigExpand，Simplify，FullSimplifyがある．
Sinhは要素単位でリストおよび行列に縫い込まれる．対照的に，MatrixFunctionを使って，正方行列の双曲線正弦（つまり，通常のベキが行列のベキで置き換えられた双曲線正弦関数のベキ級数）を与えることができる．
Sinh[x]は，x がに近付くにつれて指数的に減少し，x がに近付くにつれて指数的に増大する．Sinhは，Sinが満足するような，ピタゴラス(Pythagorean)の恒等式に似た恒等式を満足する．双曲線正弦関数の定義は，恒等式によって，複素引数にまで拡張される．双曲線余弦関数は完全である．つまり，複素平面の有限なすべての点において複素微分が可能である．Sinh[z]は，原点付近で級数展開を持つ．
Sinhの逆関数はArcSinhである．関連する数学関数には，CoshおよびCschがある．

例題

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例 (4)

数値的に評価する：

実数の部分集合中でプロットする：

複素数の部分集合中でプロットする：

0における級数展開：

スコープ (47)

数値評価 (6)

数値的に評価する：

高精度で評価する：

出力の精度は入力の精度に従う：

Sinhは複素数を入力として取ることができる：

Sinhを高精度で効率よく評価する：

自動縫込みを使って配列の要素ごとの値を計算する：

MatrixFunctionを使って行列のSinh関数を計算することもできる：

IntervalオブジェクトとCenteredIntervalオブジェクトを使って最悪の場合に保証される区間を計算する：

Aroundを使って平均的な場合の統計区間を計算することもできる：

特定の値 (4)

純粋な虚点である固定点におけるSinhの値：

無限大における値：

Sinhの零点：

Solveを使ってSinhの零点を求める：

値を代入する：

結果を可視化する：

単純な厳密値は自動的に生成される：

より複雑な場合は，明示的にFunctionExpandを使う必要がある：

可視化 (3)

Sinh関数をプロットする：

の実部をプロットする：

の虚部をプロットする：

の極プロット：

関数の特性 (12)

Sinhはすべての実数値と虚数値について定義される：

Sinhはすべての実数値に達する：

許崇智の範囲は平面全体である：

Sinhは奇関数である：

Sinhは鏡特性を有する：

Sinhは x の解析関数である：

Sinhは単調である：

Sinhは単射である：

Sinhは全射である：

Sinhは非負でも非正でもない：

Sinhは特異点も不連続点も持たない：

Sinhは凸でも凹でもない：

TraditionalFormによる表示：

微分 (3)

一次導関数：

高次導関数：

次導関数の式：

積分 (3)

Sinhの不定積分：

原点を中心とする区間上での奇関数の定積分は0である：

その他の積分例：

級数展開 (4)

Seriesを使ってテイラー(Taylor)展開を求める：

の周囲のSinhの最初の3つの近似をプロットする：

Sinhの級数展開における一般項：

フーリエ(Fourier)級数の最初の数項：

Sinhはベキ級数に適用できる：

積分変換 (2)

LaplaceTransformを使ってラプラス(Laplace)変換を計算する：

HankelTransform：

関数の恒等式と簡約 (6)

倍角のSinh：

総和のSinh：

マルチアングルの式を変換する：

双曲線関数の和を積に変換する：

実変数およびを仮定して展開する：

指数関数に変換する：

関数表現 (4)

Sinを介した表現：

ベッセル(Bessel)関数を介した表現：

MeijerGによる表現：

SinhはDifferentialRootとして表現できる：

アプリケーション (8)

双曲線を描く：

双曲型空間における回転行列：

無限小変換から構築する：

相対論的なブースト行列：

この行列はミンコフスキー(Minkowski)計量について直交である：

速さについて相対論的な座標変換を構築する：

偏長回転楕円体座標：

正弦Gordon方程式の特殊解：

微分方程式を解く：

双曲線の弧長を双曲線上の点の角度の関数としてSinhとCoshを使って計算する：

弧長を角度の関数としてプロットする：

Cosh関数とSinh関数を使って双曲線上の点を求める：

特性と関係 (11)

双曲線正弦関数の基本的なパリティと周期性の特性は自動的に適用される：

双曲線関数を含む複雑な式は自動的には簡約されない：

逆関数で構築する：

双曲線方程式を解く：

超越方程式の根を数値的に求める：

双曲線方程式を簡約する：

積分変換：

Sinhは多くの数学関数の特殊形に現れる：

Sinhは数値関数である：

Sinhの母関数：

Sinhの指数母関数：

考えられる問題 (5)

機械精度の入力では正解を出すのに不十分である：

厳密な入力を与えると正しい答が得られる：

$MaxExtraPrecisionの設定値を大きくする必要があるかもしれない：

機械数の入力で高精度の結果が得られることがある：

無限大において存在するベキ級数はない．無限大でSinhは真性特異点を持つ：

TraditionalFormでは引数の前後に丸カッコが必要である：

おもしろい例題 (2)

複素平面上のネストした双曲線余弦：

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