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AdjacencyMatrix[g]

给出图 g 的顶点–顶点邻接矩阵.

AdjacencyMatrix[{vw,…}]

使用 vw 规则来指定 g.

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按以下格式引用：

AdjacencyMatrix

AdjacencyMatrix[g]

给出图 g 的顶点–顶点邻接矩阵.

AdjacencyMatrix[{vw,…}]

使用 vw 规则来指定 g.

更多信息

  • 邻接矩阵也被称作连通性矩阵.
  • AdjacencyMatrix 返回一个 SparseArray 对象，可以使用 Normal 把它转化成一个普通矩阵.
  • 邻接矩阵的元素 aij 是从顶点 νi 到顶点 νj 的有向边的数目.
  • 对角线元素 aii 计算顶点 vi 的自环数目.
  • 一个无向边被解释为具有相反方向的两条有向边.
  • 假设顶点 vi 遵循 VertexList[g] 给出的顺序.
  • 一个图的邻接矩阵具有维度 ×，其中 是顶点数.

背景

  • AdjacencyMatrix 返回一个被称为邻接矩阵的方阵，其行和列对应于图的顶点而其中的元素 aij 是非负整数，标明的是从顶点 vi 到顶点 vj 的（有向）边的数目. 邻接矩阵给出了图的一种有用的表示方式：可以通过对矩阵的简单操作而计算很多图的性质. 可在给定邻接矩阵上有效进行的图的计算包括顶点度数、入度和出度、顶点间最多 步的路径数目、图的矩阵谱和许多其它性质.
  • 对有 个顶点的图，邻接矩阵的大小为 ×. 无向图的邻接矩阵是对称的. 对有限简单图（即无向且未加权的，既没有自环也没有多重边的图），对角线元素必须全为 0 且若 与 相邻则其矩阵元素 否则 .
  • 图的基于特定顶点顺序的显式邻接矩阵表示是唯一的. 然而，由于图的顶点可以打乱排列顺序，所以存在一类邻接矩阵，表示对应的同一同构类的图. 尽管如此，图的同构类的邻接矩阵在模以矩阵行列排列（恰好对应于对图顶点的重命名）的意义下是唯一的.
  • AdjacencyGraph 可被用于从邻接矩阵构建图. IncidenceMatrix 给出了图的另一种矩阵表示，用顶点与边的关系代替顶点与顶点的关系. AdjacencyMatrix 并不考虑图的权重，所以计算有边权的图的邻接矩阵时必须使用 WeightedAdjacencyMatrix.

范例

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基本范例  (2)

一个无向图的邻接矩阵：

Wolfram Language code: Graph[{12, 23, 31}]
Wolfram Language code: AdjacencyMatrix[%]//MatrixForm

一个有向图的邻接矩阵：

Wolfram Language code: Graph[{12, 23, 31}]
Wolfram Language code: AdjacencyMatrix[%]//MatrixForm

范围  (5)

一个无向图的邻接矩阵是对称的：

Wolfram Language code: Graph[{12, 13, 23, 24, 34}]
Wolfram Language code: AdjacencyMatrix[%]//MatrixForm

一个有向图的邻接矩阵可以是不对称的：

Wolfram Language code: Graph[{12, 21, 31, 32, 41, 42}]
Wolfram Language code: AdjacencyMatrix[%]//MatrixForm

使用规则来指定图：

Wolfram Language code: AdjacencyMatrix[{1 -> 2, 2 -> 1, 3 -> 1, 3 -> 2, 4 -> 1, 4 -> 2}]//MatrixForm

一个具有自环的图的邻接矩阵具有对角线元素：

Wolfram Language code: {Graph[{12, 23, 31, 22}], Graph[{11, 12, 23, 31}]}
Wolfram Language code: MatrixForm /@ AdjacencyMatrix /@ %

AdjacencyMatrix 可用于大规模图：

Wolfram Language code: Graph[Table[iMod[i ^ 2, 10 ^ 3], {i, 0, 10 ^ 3 - 1}]];
Wolfram Language code: Timing[m = AdjacencyMatrix[%]]

使用 MatrixPlot 来对矩阵进行可视化处理：

Wolfram Language code: MatrixPlot[m]

应用  (7)

从邻接矩阵计算一个无向图的度数：

Wolfram Language code: adjacencyDegree[g_ ? UndirectedGraphQ] := With[{a = AdjacencyMatrix[g]}, Total[a] + Diagonal[a]]
Wolfram Language code: adjacencyDegree[[image]]
Wolfram Language code: VertexDegree[[image]]

从邻接矩阵计算一个有向图的入度：

Wolfram Language code: adjacencyInDegree[g_ ? DirectedGraphQ] := Total[AdjacencyMatrix[g]]
Wolfram Language code: adjacencyInDegree[[image]]
Wolfram Language code: VertexInDegree[[image]]

从邻接矩阵计算一个有向图的出度：

Wolfram Language code: adjacencyOutDegree[g_ ? DirectedGraphQ] := Total[AdjacencyMatrix[g]]
Wolfram Language code: adjacencyOutDegree[[image]]
Wolfram Language code: VertexOutDegree[[image]]

计算有向图正好 个步长的所有顶点之间的路径数：

Wolfram Language code: graphPathCountMatrix[g_ ? DirectedGraphQ, k_Integer ? Positive] := MatrixPower[AdjacencyMatrix[g], k]

从1到5在两步内存在两条路径：

Wolfram Language code: graphPathCountMatrix[[image], 2]//MatrixForm

计算有向图正好 个步长的从 到 的路径数：

Wolfram Language code: graphPathCount[g_ ? DirectedGraphQ, s_, t_, k_Integer ? Positive] := MatrixPower[AdjacencyMatrix[g], k][[VertexIndex[g, s], VertexIndex[g, t]]]
Wolfram Language code: graphPathCount[[image], 1, 5, 2]

计算共被引矩阵，其中两个顶点的共被引数是共同的先驱节点的数目：

Wolfram Language code: cocitationMatrix[g_ ? DirectedGraphQ] := With[{a = AdjacencyMatrix[g]}, a.a - DiagonalMatrix[Diagonal[a.a]]]
Wolfram Language code: g = [image];
Wolfram Language code: cocitationMatrix[g]//MatrixForm

和 之间的共被引数目：

Wolfram Language code: %[[VertexIndex[g, Subscript[J, 2]], VertexIndex[g, Subscript[J, 3]]]]

计算耦合矩阵，其中两个顶点之间的耦合是共同的后继节点的数目：

Wolfram Language code: couplingMatrix[g_ ? DirectedGraphQ] := With[{a = AdjacencyMatrix[g]}, a.a - DiagonalMatrix[Diagonal[a.a]]]
Wolfram Language code: g = [image];
Wolfram Language code: couplingMatrix[g]//MatrixForm

和 之间的耦合数目：

Wolfram Language code: %[[VertexIndex[g, Subscript[P, 1]], VertexIndex[g, Subscript[P, 4]]]]

属性和关系  (14)

邻接矩阵的行和列遵循由 VertexList 给出的顺序：

Wolfram Language code: g = Graph[{23, 31, 12, 14}, VertexShapeFunction -> "Name", VertexStyle -> Blue]
Wolfram Language code: VertexList[g]
Wolfram Language code: TableForm[Normal@AdjacencyMatrix[g], TableHeadings -> {c = Style[#, Blue]& /@ %, c}]

利用 VertexIndex 求与顶点对相对应的矩阵的行和列：

Wolfram Language code: g = Graph[{23, 31, 12, 14}, VertexShapeFunction -> "Name"]
Wolfram Language code: (a = AdjacencyMatrix[g])//MatrixForm

检查 1 和 4 是否为相邻顶点：

Wolfram Language code: a[[VertexIndex[g, 1], VertexIndex[g, 4]]] == 1

与 EdgeQ 相比较：

Wolfram Language code: % == EdgeQ[g, 14]

一个无向图含有对称的邻接矩阵：

Wolfram Language code: g = CompleteGraph[4]
Wolfram Language code: AdjacencyMatrix[g]//MatrixForm
Wolfram Language code: SymmetricMatrixQ[%]

利用 AdjacencyGraph 从邻接矩阵构建一个图：

Wolfram Language code: AdjacencyGraph[{{0, 1, 0}, {0, 0, 1}, {1, 1, 0}}]
Wolfram Language code: AdjacencyMatrix[%]//Normal

对于任何没有自环的图，邻接矩阵的主对角线元素都是0：

Wolfram Language code: GridGraph[{2, 3}]
Wolfram Language code: Diagonal[AdjacencyMatrix[%]]//Normal

邻接矩阵的行数或者列数等于顶点数：

Wolfram Language code: g = CompleteGraph[5]
Wolfram Language code: Dimensions[AdjacencyMatrix[g]]
Wolfram Language code: VertexCount[g]

同构图可以有不同的邻接矩阵：

Wolfram Language code: {g, h} = {PetersenGraph[4, 1], HypercubeGraph[3]}
Wolfram Language code: IsomorphicGraphQ[g, h]
Wolfram Language code: AdjacencyMatrix[g] == AdjacencyMatrix[h]

根据获得 h 的相等矩阵的映射，对 g 的邻接矩阵求置换：

Wolfram Language code: perm = Values[First[FindGraphIsomorphism[g, h]]]
Wolfram Language code: AdjacencyMatrix[g][[perm, perm]] == AdjacencyMatrix[h]

一个 d 正则图 g 是连通的，当且仅当它的 d 特征值的重数为1：

Wolfram Language code: g = HypercubeGraph[3]

图是 3 正则的：

Wolfram Language code: VertexDegree[g]

重数 3 是1，所以它是连通的：

Wolfram Language code: Count[Eigenvalues[AdjacencyMatrix[g]], 3]
Wolfram Language code: ConnectedGraphQ[g]

对于一个完全图，邻接矩阵中所有对角线外的元素都是1：

Wolfram Language code: AdjacencyMatrix[CompleteGraph[10]]//MatrixPlot

一个完全 部图含有零对角线块元素：

Wolfram Language code: AdjacencyMatrix[CompleteGraph[{2, 3, 4}]]//MatrixPlot

TuranGraph 是二部图：

Wolfram Language code: BipartiteGraphQ[g = TuranGraph[5, 2]]
Wolfram Language code: MatrixPlot[AdjacencyMatrix[g]]

StarGraph 只在第一列和第一行有1：

Wolfram Language code: AdjacencyMatrix@StarGraph[10]//MatrixPlot

对于一个路径图，邻接矩阵的行只包含一个或者两个元素：

Wolfram Language code: PathGraph[Range[20]]
Wolfram Language code: MatrixPlot[AdjacencyMatrix[%]]

一个线图的邻接矩阵可以通过它的 IncidenceMatrix 计算：

Wolfram Language code: g = GridGraph[{2, 3}]
Wolfram Language code: m = IncidenceMatrix[g];
Wolfram Language code: MatrixPlot /@ {Transpose[m].m - 2IdentityMatrix[EdgeCount[g]], AdjacencyMatrix[LineGraph[g]]}

可能存在的问题  (1)

空图没有邻接矩阵：

Wolfram Language code: AdjacencyMatrix[Graph[{}, {}]]
Wolfram Research (2010)，AdjacencyMatrix，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/AdjacencyMatrix.html （更新于 2015 年）.

文本

Wolfram Research (2010)，AdjacencyMatrix，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/AdjacencyMatrix.html （更新于 2015 年）.

CMS

Wolfram 语言. 2010. "AdjacencyMatrix." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2015. https://reference.wolfram.com/language/ref/AdjacencyMatrix.html.

APA

Wolfram 语言. (2010). AdjacencyMatrix. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/AdjacencyMatrix.html 年

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_adjacencymatrix, author="Wolfram Research", title="{AdjacencyMatrix}", year="2015", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/AdjacencyMatrix.html}", note=[Accessed: 11-September-2026]}

BibLaTeX

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