检验一个 2×2 数值矩阵是否为明确的反对称矩阵：

检验一个 3×3 符号矩阵是否为反对称矩阵：

任何由反对称函数 生成的矩阵是反对称矩阵：

该函数是反对称的：

使用 Table 生成反对称矩阵：

SymmetrizedArray 能够生成具有对称性的矩阵（和一般数组）：

考虑与平面中 的旋转相对应的旋转系列矩阵：

对数导数 是反对称的：

这将适用于任何单参数的旋转系列矩阵：

两个向量的叉积可以表示为一个反对称矩阵和一个向量的乘积：

这证明 ：

这证明 ：

求满足这个与时间相关的三维方程的函数 ：

通过与反对称矩阵 相乘来表示叉积：

计算指数 并用其定义方程的解：

验证 满足微分方程和初始条件：

矩阵 对于 的所有值都是正交的：

因此，解的轨道与原点的距离恒定，在本例中为圆：

对于任何不是矩阵的 x，AntiymmetricMatrixQ[x] 都会返回 False：

如果 m-Transpose[m]，则矩阵是反对称的：

反对称矩阵的对角线上必须有零：

用 Diagonal 选出对角线元素：

实值反对称矩阵是反埃尔米特矩阵：

但复值反对称矩阵可能不是：

使用 Symmetrize 和对称 Antisymmetric 计算矩阵的反对称部分：

这等于 m 和 Transpose[m] 之间的归一化差：

任何矩阵都可以表示为它的对称与反对称部分之和：

使用 SymmetricMatrixQ 检验一个矩阵是否是对称的：

如果 是具有实数项的反对称矩阵，则 是埃尔米特矩阵：

实反对称 m 的 MatrixExp[m] 既是正交矩阵又是酉矩阵：

对于复反对称 m，其指数是正交矩阵，但通常不是酉矩阵：

实值反对称矩阵始终是正规矩阵：

复值反对称矩阵不必是正规矩阵：

实值反对称矩阵具有纯虚特征值：

使用 Eigenvalues 求特征值：

请注意，复值反对称矩阵可能同时具有实数和复数特征值：

考虑一个偶数维的实反对称 m：

CharacteristicPolynomial[m,x] 仅包含 x 的偶数次幂：

对于奇数维 m，多项式仅包含奇次幂：

实值反对称矩阵有一组完整的特征向量：

因此，该矩阵必须是可对角化矩阵：

使用 Eigenvectors 求得必要的复值特征向量：

请注意，复值反对称矩阵不需要具有以下属性：

奇数维反对称 m 的 Det[m] 为零：

如果 m 具有偶数维且其项为实数，则其行列式为非负：

反对称矩阵的逆为反对称矩阵：

反对称矩阵的奇次幂为反对称矩阵：

偶次幂为对称矩阵：

AntisymmetricMatrixQ 对实值矩阵和复值矩阵都使用定义 ：

这些复数矩阵不必为正规矩阵也不必具有许多斜伴随（实反对称）矩阵的性质：

AntihermitianMatrixQ 为斜伴随 (skew-adjoint) 矩阵检验条件 ：

或者，检验项是否为实数，以限制为实数对称矩阵：