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AppellF1

AppellF1[a,b₁,b₂,c,x,y]

二変数のアッペル(Appell)超幾何関数である．

詳細

AppellF1は，超幾何級数を一般化して多項式係数を持つHorn偏微分方程式系を解Appell関数族の一員である．
記号操作・数値操作の両方に適した数学関数である．
は，領域の中で収束する超幾何級数 $sum_(m=0)^inftysum_(n=0)^infty(TemplateBox[{a, {m, +, n}}, Pochhammer] TemplateBox[{{b, _, 1}, m}, Pochhammer] TemplateBox[{{b, _, 2}, n}, Pochhammer] )/(TemplateBox[{c, {m, +, n}}, Pochhammer]m! n!)x^m y^n$ を介して主定義を得る．
引数の実数値についてのアッペルF1級数の収束領域は以下の通りである．

一般に，はの形のHorn偏微分方程式系を満足する． »
はまたはのとき，に簡約される．
特別な引数の場合，AppellF1は自動的に厳密値を計算する．
AppellF1は任意の数値精度で評価できる．
AppellF1[a,b₁,b₂,c,x,y]は，二変数複素空間でおよびを満たす特異線を有し，およびでからに伸びる半直線に沿って不連続な分枝切断線を有する．
FullSimplifyおよびFunctionExpandはAppellF1の変換規則を含んでいる．

例題

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例 (8)

数値的に評価する：

記号的に評価する：

総和の定義：

実数の部分集合上でプロットする：

複素数の部分集合上でプロットする：

原点における級数展開：

Infinityにおける級数展開：

特異点における級数展開：

スコープ (28)

数値評価 (6)

数値的に評価する：

高精度で評価する：

出力精度は入力精度に従う：

複素数入力：

AppellF1を高精度で効率的に評価する：

Aroundを使って平均的な場合の統計区間を計算する：

配列の要素ごとの値を計算する：

MatrixFunctionを使って行列のAppellF1関数を計算することもできる：

特定の値 (4)

固定点における値：

記号的に評価する：

ゼロにおける値：

AppellF1を単純なパラメータについて評価するとより単純な関数になる：

可視化 (4)

AppellF1関数をさまざまなパラメータについてプロットする：

AppellF1を第2パラメータの関数としてプロットする：

の実部をプロットする：

の虚部をプロットする：

の実部を三次元でプロットする：

の虚部を三次元でプロットする：

関数の特性 (9)

AppellF1の実領域：

AppellF1の複素領域：

AppellF1は解析関数ではない：

特異点と不連続点の両方を持つ：

は非減少でも非増加でもない：

は単射である：

は全射ではない：

は非負でも非正でもない：

は凸でも凹でもない：

TraditionalFormによる表示：

微分 (3)

y についての一次導関数：

y についての高次導関数：

a=b₁=b₂=2， c=10，x=1/2のとき，y についての高次導関数をプロットする：

y についての次導関数の式：

級数展開 (2)

Seriesを使ってテイラー(Taylor)展開を求める：

の周りの最初の3つの近似をプロットする：

生成点におけるテイラー展開：

アプリケーション (1)

アッペル関数は，多項式係数を持つ以下の偏微分方程式系を解く：

が解であることを確かめる：

特性と関係 (2)

AppellF1によって積分を評価する：

FullSimplifyを使ってAppellF1を含む式を簡約する：

おもしろい例題 (1)

初等関数および特殊関数の多くはAppellF1の特殊ケースである：

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