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AppellF3[a1,a2,b1,b2,c,x,y]

二変数のアッペル(Appell)超幾何関数 である．

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AppellF3

AppellF3[a1,a2,b1,b2,c,x,y]

二変数のアッペル(Appell)超幾何関数 である．

詳細

  • AppellF3は超幾何級数を一般化して多項式係数を持つHorn偏微分方程式系を解く，Appell関数族の一員である．
  • 記号操作・数値操作の両方に適した数学関数である．
  • は，領域max(TemplateBox[{x}, Abs],TemplateBox[{y}, Abs])<1内で収束する超幾何級数 を介して主定義を得る．
  • 引数の実数値についてのアッペルF3級数の収束領域は以下の通りである．
  • 一般に，は の形のHorn偏微分方程式系を満足する． »
  • は，または のときに簡約される．
  • 特別な引数の場合，AppellF3は自動的に厳密値を計算する．
  • AppellF3任意の数値精度で評価できる．

例題

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例  (7)

数値的に評価する：

Wolfram Language code: AppellF3[2, 1, 3, 4, 5, 0.7, 0.3]

総和の定義：

Wolfram Language code: Sum[x^m y^n(( Pochhammer[a1, m]Pochhammer[a2, n]Pochhammer[b1, m] Pochhammer[b2, n]) / (Pochhammer[c, m + n]m! n!)), {m, 0, Infinity}, {n, 0, Infinity}]

実数の部分集合上でプロットする：

Wolfram Language code: Plot[AppellF3[1, 2, 3, 6, 1 / 5, -1 / 3, y], {y, -3 / 4, 1 / 5}]

複素数の部分集合上でプロットする：

Wolfram Language code: Plot[Abs[AppellF3[1 / 2, 1 / 3, 1 / 4, 1 / 5, 1 / 6, 1 / 7, z I]], {z, -3 / 4, 3 / 4}]

AppellF3関数族をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[Table[Abs[AppellF3[1 / 2, 1 / 3, 1 / 4, 1 / 5, 1 / 6, 1 / 2 + n / 5 I, 1 / 2 + z I]], {n, -3, 3}]//Evaluate, {z, -9 / 10, 1}]

原点における級数展開：

Wolfram Language code: Series[AppellF3[1, 1, 1, 1, 1, 4, x], {x, 0, 3}]

TraditionalFormによる表示：

Wolfram Language code: AppellF3[Subscript[a, 1], Subscript[a, 2], Subscript[b, 1], Subscript[b, 2], c, x, y]//TraditionalForm

スコープ  (17)

数値評価  (6)

数値的に評価する：

Wolfram Language code: AppellF3[3, 2, 1, 2, 3, 1 / 3, 0.2]
Wolfram Language code: AppellF3[-2, -1, -2, 5, 2 / 3 + I, 0.4, 0.3]

高精度で評価する：

Wolfram Language code: N[AppellF3[3, 2, 1, 2, 3, 1 / 3, 2 / 5], 10]

出力精度は入力精度に従う：

Wolfram Language code: AppellF3[3, 2, 1, 2, 3, 1 / 3, 0.400000000000000000001]

複素数入力：

Wolfram Language code: AppellF3[I, 1, 1 + I, 3.2, 1 / 2, 0.5, 0.2 + 0.5 I]

AppellF3を高精度で効率的に評価する：

Wolfram Language code: AppellF3[3, 2, 1, 2, 1 / 3, 1 / 7, 1 / 5`100]//Timing
Wolfram Language code: AppellF3[3, 2, 1, 2, 7, 1 / 3, -1 / 5`100 + I];//Timing

Aroundを使って平均的な場合の統計区間を計算する：

Wolfram Language code: AppellF3[ 1 / 2, 3 / 2, -4, 5, 1 / 2, 0, Around[2.1, 0.01]]

配列の要素ごとの値を計算する：

Wolfram Language code: AppellF3[1 / 2, 3 / 2, -4, 5, 1 / 2, 0, {{1 / 2, 2}, {2, 1 / 2}}]

MatrixFunctionを使って行列のAppellF3関数を計算することもできる：

Wolfram Language code: MatrixFunction[AppellF3[1 / 2, 3 / 2, -4, 5, 1 / 2, 0, #]&, {{1 / 2, 2}, {2, 1 / 2}}]//FullSimplify

特定の値  (3)

固定点における値：

Wolfram Language code: AppellF3[1 / 2, 1 / 3, 1 / 2, 1, 3, 0, 2]
Wolfram Language code: AppellF3[2, 1 / 3, 1 / 4, 1, 4, 0, 2]

Hypergeometric2F1関数に簡約する：

Wolfram Language code: AppellF3[Subscript[a, 1], Subscript[a, 2], Subscript[b, 1], Subscript[b, 2], c, x, 0]
Wolfram Language code: AppellF3[Subscript[a, 1], Subscript[a, 2], Subscript[b, 1], Subscript[b, 2], c, 0, y]

ゼロにおける値：

Wolfram Language code: AppellF3[Subscript[a, 1], Subscript[a, 2], Subscript[b, 1], Subscript[b, 2], c, 0, 0]

可視化  (3)

AppellF3関数をさまざまなパラメータについてプロットする：

Wolfram Language code: Plot[{AppellF3[1, 2, 3, 6, 1 / 5, x, 1 / 30], AppellF3[2, 1, 3, 1 / 3, 2, x, 0], AppellF3[2, 1, 3, 1 / 3, 2, x, -1 / 2]}, {x, -1 / 2, 1 / 5}]

AppellF3をその第2パラメータ の関数としてプロットする：

Wolfram Language code: Plot[{AppellF3[1, 2, 3, 6, 1 / 5, -1 / 2, y], AppellF3[1, 2, 3, 6, 1 / 5, -1 / 5, y], AppellF3[1, 2, 3, 6, 1 / 5, -1 / 100, y]}, {y, -1 / 2, 1 / 5}]

の実部をプロットする：

Wolfram Language code: ComplexContourPlot[Re[AppellF3[2, 1, 3, 1 / 3, 2, 0, z]], {z, -5 - 5I, 5 + 5I}]

の虚部をプロットする：

Wolfram Language code: ComplexContourPlot[Im[AppellF3[2, 1, 3, 1 / 3, 2, 0, z]], {z, -5 - 5I, 5 + 5I}]

微分  (4)

x についての一次導関数：

Wolfram Language code: D[AppellF3[Subscript[a, 1], Subscript[a, 2], Subscript[b, 1], Subscript[b, 2], c, x, y], x]

y についての一次導関数：

Wolfram Language code: D[AppellF3[Subscript[a, 1], Subscript[a, 2], Subscript[b, 1], Subscript[b, 2], c, x, y], y]

y についてのより高次の導関数：

Wolfram Language code: Table[D[AppellF3[Subscript[a, 1], Subscript[a, 2], Subscript[b, 1], Subscript[b, 2], c, x, y], {y, k}], {k, 1, 3}]//FullSimplify

a1=a2=2，b1=b2=5，c=1/2，x=1/5のときの y についてのより高次の導関数をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[Evaluate[% /. {Subscript[a, 1] -> 2, Subscript[a, 2] -> 2, Subscript[b, 1] -> 5, Subscript[b, 2] -> 5, c -> 1 / 2, x -> 1 / 5}], {y, -1 / 2, 1 / 5}, Rule[...]]

y についての 次導関数の式：

Wolfram Language code: D[AppellF3[Subscript[a, 1], Subscript[a, 2], Subscript[b, 1], Subscript[b, 2], c, x, y], {y, n}]

級数展開  (1)

Seriesを使ってテイラー(Taylor)展開を求める：

Wolfram Language code: Series[AppellF3[Subscript[a, 1], Subscript[a, 2], Subscript[b, 1], Subscript[b, 2], c, x, y], {x, 0, 2}]//Normal//FullSimplify

の周りの最初の3つの近似のプロット：

Wolfram Language code: terms = Normal@Table[Series[AppellF3[1, 2, 3, 6, 1 / 5, x, .3], {x, 0, m}], {m, 1, 5, 2}]; Plot[{AppellF3[1, 2, 3, 6, 1 / 5, x, .3], terms}//Evaluate, {x, -9 / 10, 1 / 2}]

アプリケーション  (1)

アッペル関数 は多項式係数を持つ次の偏微分方程式系を解く：

Wolfram Language code: pde = {x (1 - x) f^(2, 0)[x, y] + y f^(1, 1)[x, y] + (c - (Subscript[a, 1] + Subscript[b, 1] + 1)x)f^(1, 0)[x, y] - Subscript[a, 1] Subscript[b, 1] f[x, y] == 0, y (1 - y) f^(0, 2)[x, y] + x f^(1, 1)[x, y] + (c - (Subscript[a, 2] + Subscript[b, 2] + 1)y)f^(0, 1)[x, y] - Subscript[a, 2] Subscript[b, 2] f[x, y] == 0};

が解であることを確かめる：

Wolfram Language code: (pde /. {Subscript[a, 1] -> 1, Subscript[a, 2] -> 2, Subscript[b, 1] -> 3, Subscript[b, 2] -> 6, c -> 1 / 5}) /. f -> Function[{x, y}, AppellF3[1, 2, 3, 6, 1 / 5, x, y]];
Wolfram Language code: % /. Thread[{x, y} -> RandomReal[{-1 / 2, 1 / 2}, {2}, WorkingPrecision -> 50]]

おもしろい例題  (1)

多くの初等関数と特殊関数はAppellF3の特殊ケースである：

Wolfram Language code: funclist = Inactivate[...];
Wolfram Language code: Grid[...]//TraditionalForm
Wolfram Research (2023), AppellF3, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/AppellF3.html.

テキスト

Wolfram Research (2023), AppellF3, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/AppellF3.html.

CMS

Wolfram Language. 2023. "AppellF3." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/AppellF3.html.

APA

Wolfram Language. (2023). AppellF3. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/AppellF3.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_appellf3, author="Wolfram Research", title="{AppellF3}", year="2023", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/AppellF3.html}", note=[Accessed: 09-August-2026]}

BibLaTeX

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