ArcCosh
ArcCosh
ArcCosh[z]
複素数 
の逆双曲線余弦
を与える．
予備知識
- ArcCoshは，逆双曲線余弦関数である．ArcCosh[x]は，実数
について，
となるような 
の双曲線角度を表す． - ArcCoshは自動的にリストに縫い込まれる．特別な引数の場合，ArcCoshは自動的に厳密値を計算する．厳密な数式が引数として与えられると，ArcCoshは任意の数値精度に評価できることがある．ArcCoshを含む記号式の操作に便利なその他の演算には，FunctionExpand，TrigToExp，TrigExpand，Simplify，FullSimplifyがある．
- ArcCoshは，複素引数
について，
によって定義される．ArcCosh[z]は複素 
平面上で不連続な分枝切断線を持つ． - 関連する数学関数には，Cosh，ArcSinh，ArcCosがある．
例題
すべて開く すべて閉じる例 (5)
ArcCosh[2.]Cosh[%]Plot[ArcCosh[x], {x, 1, 10}]ComplexPlot3D[ArcCosh[z], {z, -2 - 2I, 2 + 2I}, PlotLegends -> Automatic]Infinityにおける漸近展開：
Series[ArcCosh[x], {x, ∞, 3}]Series[ArcCosh[x], {x, 1, 3}]スコープ (41)
数値評価 (6)
ArcCosh[5.0]N[ArcCosh[5], 50]ArcCosh[5.0000000000000000000000000000000000]ArcCosh[1.5 + I]ArcCoshを高精度で効率よく評価する：
ArcCosh[5`500]//TimingArcCosh[5`100000];//TimingIntervalオブジェクトとCenteredIntervalオブジェクトを使って最悪の場合に保証される区間を計算する：
ArcCosh[Interval[{2, Cosh[3]}]]ArcCosh[CenteredInterval[4, 1 / 100]]ArcCosh[CenteredInterval[2 + 3I, (1 + 1) / 100]]Aroundを使って平均的な場合の統計区間を計算することもできる：
ArcCosh[Around[.9, 0.1]]ArcCosh[{{1, 1 / Sqrt[2]}, {0, -1 / Sqrt[2]}}]MatrixFunctionを使って行列のArcCosh関数を計算することもできる：
MatrixFunction[ArcCosh[#]&, {{1, 1 / Sqrt[2]}, {0, -1 / Sqrt[2]}}]特定の値 (4)
固定点におけるArcCoshの値：
Table[ArcCosh[(n /2)], {n, -2, 2}]ArcCosh[Infinity]ArcCosh[ComplexInfinity]ArcCoshの零点：
ArcCosh[1]
f[x_] := ArcCosh[x] - Log[2];sol = Solve[f[x] == 0, x]xzero = x /. First[sol]Plot[f[x], {x, 1, 2}, Epilog -> Style[Point[{xzero, f[xzero]}], PointSize[Large], Red]]可視化 (3)
ArcCosh関数をプロットする：
Plot[ArcCosh[x], {x, 0, 10}]
ComplexContourPlot[Re[ArcCosh[z]], {z, -3 - 3 I, 3 + 3 I}, Contours -> 24]
ComplexContourPlot[Im[ArcCosh[z]], {z, -3 - 3 I, 3 + 3 I}, Contours -> 24]
Table[PolarPlot[ArcCosh[k ϕ], {ϕ, 0, 8π}, Sequence[Frame -> True, PlotLabel -> "k=" <> ToString[k], PlotRange -> All]], {k, 1, 4}]関数の特性 (10)
ArcCoshは，1以上のすべての実数値について定義される：
FunctionDomain[ArcCosh[x], x]FunctionDomain[ArcCosh[z], z, Complexes]ArcCoshは0以上のすべての実数値に達する：
FunctionRange[ArcCosh[x], x, y]FunctionRange[ArcCosh[z], z, y, Complexes]ArcCoshは解析関数ではない：
FunctionAnalytic[ArcCosh[x], x]FunctionMeromorphic[ArcCosh[x], x]ArcCoshは実数領域で増加する：
FunctionMonotonicity[{ArcCosh[x], x ≥ 1}, x, StrictInequalities -> True]ArcCoshは単射である：
FunctionInjective[ArcCosh[x], x]Plot[{ArcCosh[x], 1}, {x, -1, 10}]ArcCoshは全射ではない：
FunctionSurjective[ArcCosh[x], x]Plot[{ArcCosh[x], -.5}, {x, -5, 5}]ArcCoshは実数領域上で非負である：
FunctionSign[{ArcCosh[x], x ≥ 1}, x]FunctionSingularities[ArcCosh[x], x]FunctionDiscontinuities[ArcCosh[x], x]ArcCoshは実数領域上で凹である：
FunctionConvexity[{ArcCosh[x], x ≥ 1}, x]TraditionalFormによる表示：
ArcCosh[z]//TraditionalForm微分 (3)
D[ArcCosh[x], x]Table[D[ArcCosh[x], {x, n}], {n, 1, 4}]Plot[Evaluate[%], {x, 1, 4}, PlotLegends -> {"First Derivative", "Second Derivative", "Third Derivative", "Fourth Derivative"}]
次導関数の式：D[ArcCosh[x], {x, n}]積分 (3)
級数展開 (4)
Seriesを使ってテイラー(Taylor)展開を求める：
Series[ArcCosh[x], {x, 2, 4}]
付近でArcCoshについての最初の3つの近似をプロットする：
terms = Normal@Table[Series[ArcCosh[x], {x, 2, m}], {m, 1, 3}];
Plot[{ArcCosh[x], terms}, {x, 1, 3}]
付近でのArcCoshの級数展開における一般項：
SeriesCoefficient[ArcCosh[x], {x, 0, n}]Series[ArcCosh[x], {x, 1, 4}]Series[ArcCosh[x], {x, -1, 4}]ArcCoshはベキ級数に適用できる：
ArcCosh[2Exp[x] + O[x] ^ 5]関数の恒等式と簡約 (3)
ArcCoshを含む式を簡約する：
FullSimplify[Cosh[ArcCosh[x] + ArcCosh[y]] ^ 2 - 2x y Cosh[ArcCosh[x] + ArcCosh[y]] + x ^ 2 + y ^ 2]TrigToExpを使って，対数と平方根を介して表現する：
TrigToExp@ArcCosh[z]ExpToTrig[%]
ComplexExpand[ArcCosh[x + I y]]関数表現 (5)
ArcSechを使って表現する：
ArcSech[1 / x]//FullSimplifyInverseJacobiCN[(1/z), 1]//FullSimplifyInverseJacobiDN[(1/z), 1]//FullSimplifyHypergeometric2F1を使って表現する：
(Sqrt[z - 1] ((π/2) - z HypergeometricPFQ[{(1/2), (1/2)}, {(3/2)}, z^2])/Sqrt[1 - z])//FullSimplifyMeijerGReduce[ArcCosh[x], x]Activate[%]//FullSimplifyArcCoshはDifferentialRootとして表すことができる：
DifferentialRootReduce[ArcCosh[x], x]アプリケーション (4)
本体のエネルギーを静止エネルギーの2倍に押し上げる速さを求める：
ArcCosh[2]//NTanh[%]ミズーリ州セントルイスにあるゲートウェイアーチの反転した懸垂形アーチの底辺の幅をフィートで：
2(ArcCosh[(757.7 - y) / 127.7] 127.7) /. y -> 0ArcCoshの実部と虚部をプロットする：
Plot[{Re[ArcCosh[x]], Im[ArcCosh[x]]}, {x, -2, 2}, PlotStyle -> Thick]DSolve[1 + (2 E^-x y[x] + 3 E^x y[x]) x (y[x] + x y'[x]) == 0, y[x], x]//Quiet特性と関係 (5)
逆関数を使った構成には，PowerExpandによって恒等式まで簡約する必要があるかもしれない：
{Cosh[ArcCosh[z]], ArcCosh[Cosh[z]]}PowerExpand[%]Simplify[%%, z > 0]次は，ArcCosh関数の分枝切断線を示している：
Plot3D[Im[ArcCosh[x + I y]], {x, -2, 2}, {y, -2, 2}]Reduce[ArcCosh[z]^3 + 3 ArcCosh[z] == 2, z]Reduce[ArcCosh[Cosh[z]] == w, z]Reduce[ArcCosh[α x + β] == 0, x]ArcCoshが満足する微分方程式を解く：
DSolve[{z y'[z] + (z^2 - 1) y''[z] == 0, y[1] == 0}, y[z], z]これがArcCoshを満足することを証明する：
z y'[z] + (z^2 - 1) y''[z] /. y -> ArcCoshSimplify[%]考えられる問題 (2)
ArcCosh[Cosh[0.3 + 5 I]]Cosh[ArcCosh[0.3 + 5 I]]分枝切断線上では，機械精度の入力が数値的に正しくない答を与えることがある：
ArcCosh[-1 + I ((Pi + 1) ^ 2 - Pi ^ 2 - 2Pi - 1 - Exp[-Pi ^ 4])]//NArcCosh[-1 + I ((Pi + 1) ^ 2 - Pi ^ 2 - 2Pi - 1 - Exp[-Pi ^ 4])]//N[#, 30]&おもしろい例題 (1)
次は，ArcCoshベキ乗関数の分枝切断を示している：
Plot3D[Im[ArcCosh[(x + I y) ^ 4]], {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, ...]
MathWorld
The Wolfram Functions Site
Wolfram Research (1988), ArcCosh, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/ArcCosh.html （2021年に更新）.
テキスト
Wolfram Research (1988), ArcCosh, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/ArcCosh.html （2021年に更新）.
CMS
Wolfram Language. 1988. "ArcCosh." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2021. https://reference.wolfram.com/language/ref/ArcCosh.html.
APA
Wolfram Language. (1988). ArcCosh. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/ArcCosh.html