AsymptoticSolve

AsymptoticSolve[eqn,yb,x->a]

{a,b}を通る方程式 eqn の解 y[x]の漸近近似を計算する．

AsymptoticSolve[eqn,{y},x->a]

方程式 eqn の解 y[x]の漸近近似を a の近くの x について計算する．

AsymptoticSolve[eqns,{y1,y2,…}{b1,b2,…},{x1,x2,…}{a1,a2,…}]

方程式系 eqns の解{y1[x1,x2,…],y2[x1,x2,…],…}の漸近近似を計算する．

AsymptoticSolve[eqns,…,{{x1,x2,…},{a1,a2,…},n}]

漸近近似を次数 n まで計算する．

AsymptoticSolve[…,Reals]

実数値の引数についての実数値解のみを計算する．

詳細とオプション

  • 漸近近似は，厳密解が求まらない問題を解いたり，計算，比較，解釈のより簡単な答を求めたりする際によく使われる．
  • AsymptoticSolve[eqn,…,xa]は，eqn の漸近展開における最高次数の項を計算する．より多くの項が指定したければSeriesTermGoalを使うとよい．
  • 漸近近似 yn[x] は，しばしば総和 yn[x]αkϕk[x]として与えられる．ただし，{ϕ1[x],…,ϕn[x]}は xa のときの漸近尺度 ϕ1[x]≻ϕ2[x]≻⋯>ϕn[x]である．結果は，xa のとき，AsymptoticLess[y[x]-yn[x],ϕn[x],xa]または y[x]-yn[x]∈o[ϕn[x]]を満足する．
  • 次は，よく使われる漸近尺度である．
  • xa のときのテイラー(Taylor)スケール
    xa のときのローラン(Laurent)スケール
    x±∞のときのローランスケール
    xa のときのピュイゾー(Puiseux)スケール
  • 漸近近似を表すために使われる尺度は，問題から自動的に推測される．より珍しい尺度が含まれることも多い．
  • 中心座標の a および b は，任意の，有限あるいは無限の実数あるいは複素数でよい．
  • 次数 n は漸近解の近似次数を指定するもので，正の整数でなければならない．この次数は，多項式次数とは無関係である．
  • 方程式系 eqns は方程式の任意の論理結合でよい．
  • 次は，使用可能なオプションである．
  • Assumptions $Assumptionsパラメータについての仮定
    Direction Automaticx が a に近付く方向
    GenerateConditions Automaticパラメータについての条件を含む答を生成するかどうか
    Method Automatic使用するメソッド
    PerformanceGoal$PerformanceGoalパフォーマンスのどの局面について最適化するか
    SeriesTermGoal Automatic漸近の項数
  • 次は，Directionの可能な設定である．
  • Reals または"TwoSided"両実数方向から
    "FromAbove" または -1上，つまりより大きい値から
    "FromBelow" または +1下，つまりより小さい値から
    Complexesすべての複素方向から
    Exp[ θ] の方向
    {dir1,…,dirn}変数 xiに方向 diriを独立に使う
  • x*におけるDirectionExp[ θ]は，曲線の接線が極限点 x*に近付く方向を示す．
  • 有限値の a についてのAutomatic設定は上からを意味する．
  • 領域Realsが指定されると，x が指定されたDirectionから a に近付くときの解は実数値になる．
  • 次は，GenerateConditionsの可能な設定である．
  • Automatic一般的ではない条件のみ
    Trueすべての条件
    False条件なし
    None条件が必要な場合には未評価で返す
  • PerformanceGoalの可能な設定には，$PerformanceGoal，"Quality"，"Speed"がある．"Quality"設定のとき，AsymptoticSolveはより多くの問題を解いたりより簡単な結果を与えたりすることが多いが，より多くの時間とメモリが必要になる可能性がある．

例題

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例  (5)

点{0,0}を通る解の漸近近似を求める：

0の近くの x についての解の漸近近似を求める：

のときの解の漸近近似における最高次の項を求める：

x が上から0に近付くときの実数解のみを求める：

方程式系の解の漸近近似を求める：

スコープ  (18)

2Dにおける一次元解  (8)

指定された点を通る整方程式のベキ級数解：

漸近解と近似する解をプロットする：

指定された点を通る分析方程式のベキ級数解：

漸近解と近似する解をプロットする：

指定された点を通る整方程式のピュイゾー級数解：

x が上から0に近付くときの実数解：

x が下から0に近付くときの実数解：

指定された点を通る分析方程式のピュイゾー級数解：

指定された点を通る漸近級数解：

独立変数の指定された値近くの整方程式の解：

無限大における実数の漸近級数解：

漸近解と近似する解をプロットする：

記号パラメータを持つ方程式：

パラメータについての条件が生成されることがある：

nDにおける一次元解  (5)

指定された点を通る多項式系のベキ級数解：

漸近解と近似する解をプロットする：

指定された点を通る分析方程式系のベキ級数解：

漸近解と近似する解をプロットする：

指定された点を通る多項式系のピュイゾー級数解：

t が上から0に近付くときに実数値となる解はない：

t が下から0に近付くときは，解のうち2つは実数値である：

独立変数の指定された値の近くの多項式系の解：

記号パラメータを持つ方程式：

nDにおけるより高次の次元の解  (5)

指定された点を通る整方程式のベキ級数解：

漸近解と近似する解をプロットする：

指定された点を通る分析方程式のベキ級数解：

漸近解と近似する解をプロットする：

指定された点を通る多項式系のベキ級数解：

指定された点を通る分析方程式系のベキ級数解：

独立変数の指定された値近くの多項式系のベキ級数解：

オプション  (9)

Assumptions  (1)

Assumptionsを使ってパラメータについての条件を指定する：

仮定が異なると生成される結果も異なることがある：

Direction  (3)

デフォルトで，AsymptoticSolveは x が上から0に近付くときの有効な解を与える：

以下は，x が下から0に近付くときの有効な解を求める：

複素数解も方向に依存することがある：

以下は，x が複素方向から0に近付くときの実数解を与える：

GenerateConditions  (3)

デフォルトで，AsymptoticSolveは結果を得るために仮定した条件を与える：

以下は，仮定された条件なしの結果を与える：

デフォルトで，一般的に真である仮定条件は報告されない：

GenerateConditions->Trueとすると，すべての条件が報告される：

GenerateConditions->Noneのとき，AsymptoticSolveは一般的に有効な結果だけを返す：

一般的ではない条件が必要な場合は，AsymptoticSolveは評価されずに返される：

Method  (1)

結果がベキ級数あるいはピュイゾー級数のときは常に級数を返す：

級数解が方程式を満足することを確かめる：

SeriesTermGoal  (1)

デフォルトで，AsymptoticSolve[eqn,…,xa]は解の最高次の項を計算する：

SeriesTermGoalを使ってより多くの項を得る：

アプリケーション  (12)

陰関数  (3)

方程式 は，それぞれ 近くの2つの異なる関数 を陰的に定義する．この2つの関数について の近くの三次漸近近似を計算する：

関数を，その展開に基づいて定義する：

点 における2つの関数の値は異なる：

しかし，どちらも で方程式 を厳密に満足する：

この方程式と2つの分枝における近似を可視化する：

この場合，陰的に定義された2つの関数を厳密に解くのは簡単である：

AsymptoticSolveが返す2つの式は厳密解の級数である：

単位円 についての における二次漸近近似を計算する：

この近似は のより大きいあるいはより小さい値についてのこれらの定点における円と非常に近い：

この近似は，特異点 で分数乗を使う：

視覚的には，この近似は の値についてしか定義されないように見える：

これは，関数が で実数から純虚数に変わるためである：

このため，実数上で解を求めようとしても失敗する：

しかし， のより小さい値に制限して純粋な実数式を求めることはできる：

曲線 は直線 と無限回交差する．垂直線テスト（任意の垂直線は曲線と1回しか交差せず，そのセクションと複数回交差する垂直線はない）をクリアする任意のセクションでは，関数は陰的に定義されている：

原点を通るセクションについて近似を計算する：

これは，の逆関数であるのテイラー級数にマッチすることに注意：

点を通るこのセクションの近似を計算する：

この曲線と2つの近似を可視化する：

摂動方程式  (2)

摂動整方程式の解を求める：

漸近解と近似する解をプロットする：

小さな摂動下での分析方程式の解の動作を調べる：

漸近解と近似する解をプロットする：

方程式の級数解  (2)

非特異点における方程式の級数解を求める：

についての の導関数はで消失しない：

次数5までの級数解を求める：

結果は方程式を満足する：

方程式系の非特異点における多変数の級数解を求める：

のについてのヤコビ行列はで消失しない：

次数3までの級数解を求める：

結果は方程式を満足する：

曲線の漸近近似  (3)

代数平面曲線の特異点近傍におけるピュイゾー級数解を求める：

0の近くの漸近解と近似する曲線とをプロットする：

代数空間曲線の特異点近傍におけるピュイゾー級数解を求める：

漸近解をプロットする：

漸近解の値を開始点として使って数値解を求める：

数値解と漸近解を比較する：

曲線を2つの曲面の交点として表示する：

0の近くのフェルマ(Fermat)の螺線を近似する：

プロットを比較する：

物理の問題の漸近解  (2)

平均近点角 についての離心近点角 のケプラー(Kepler)の方程式を解く：

離心率 についての厳密解と比較する：

幅 ，深さ の一次元ボックス内の，質量 の粒子のエネルギーレベルを調べる．時間非依存シュレディンガー(Schrödinger)方程式のボックスの左側，ボックス内，ボックスの右側の解 ，，は，以下で与えられる：

この解はボックスの境界上で連続的に微分可能でなければならない：

同次線形方程式は，その係数行列が特異のときは，非零の解を許す：

と が1で となるように単位が選ばれると仮定する：

についての可能なエネルギーレベルを求める：

の近くの漸近解を計算する：

漸近解と最小の厳密解を比較する：

Wolfram Research (2019), AsymptoticSolve, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticSolve.html （2020年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (2019), AsymptoticSolve, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticSolve.html （2020年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 2019. "AsymptoticSolve." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2020. https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticSolve.html.

APA

Wolfram Language. (2019). AsymptoticSolve. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticSolve.html

BibTeX

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