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BellY

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BellY

BellY[n,k,{x₁,…,x_n-k+1}]

给出部分贝尔多项式 $TemplateBox[{n, k, {x, _, 1}, ..., {x, _, {(, {n, -, k, +, 1}, )}}}, BellY]$ .

BellY[n,k,m]

给出矩阵 m 的广义部分贝尔多项式.

BellY[m]

给出矩阵 m 的广义贝尔多项式.

更多信息

数学函数，适合于符号与数值运算.
部分贝尔多项式可通过 Faà di Bruno 公式 $D_t^nf(g(t))=sum_(k=0)^nf^((k))(g(t)) TemplateBox[{n, k, {{g, ^, {(, ', )}}, (, t, )}, {{g, ^, {(, '', )}}, (, t, )}, ..., {{g, ^, {(, {(, {n, -, k, +, 1}, )}, )}}, (, t, )}}, BellY]$ 来表示两个函数的合成函数的阶导数. »
BellY 多项式 $TemplateBox[{n, k, {x, _, 1}, ..., {x, _, {(, {n, -, k, +, 1}, )}}}, BellY]$ 由 ⋯ Boole[m₁+2 m₂+⋯+n m_nn∧m₁+m₂+⋯+m_nk] (x_s/s!)^m_s 得到. »
广义贝尔多项式可用于表示由个函数组成的合成函数的阶导数 $D_t^nf_1(f_2(...f_m(t)...))⩵TemplateBox[{{{{{{f, _, 1}, '}, {(, {{f, _, 2}, (, {..., , {{f, _, m}, (, t, )}, ...}, )}, )}}, , {{{f, _, 2}, '}, {(, {{f, _, 3}, (, {..., , {{f, _, m}, (, t, )}, ...}, )}, )}}, , ..., , {{{f, _, m}, '}, {(, t, )}}}, ; , {{{{f, _, 1}, ''}, {(, {{f, _, 2}, (, {..., , {{f, _, m}, (, t, )}, ...}, )}, )}}, , {{{f, _, 2}, ''}, {(, {{f, _, 3}, {(, {..., , {{f, _, m}, (, t, )}, ...}, )}}, )}}, , ..., , {{{f, _, m}, ''}, {(, t, )}}}, ; , {|, , |, , ..., , |}, ; , {{{{f, _, 1}, ^, {(, {(, n, )}, )}}, (, {{f, _, 2}, (, {..., , {{f, _, m}, (, t, )}, ...}, )}, )}, , {{{f, _, 2}, ^, {(, {(, n, )}, )}}, (, {{f, _, 3}, (, {..., , {{f, _, m}, (, t, )}, ...}, )}, )}, , ..., , {{{f, _, m}, ^, {(, {(, n, )}, )}}, (, t, )}}}}, BellY1]$ .
BellY[n,k,m] 等价于 BellY[]，其中通过将 UnitVector[n,k] 作为第一列添加到 m 构成. »

范例

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基本范例 (3)

偏贝尔多项式：

广义偏贝尔多项式：

广义贝尔多项式：

范围 (1)

计算数值矩阵：

应用 (13)

微积分 (3)

广义链式法则允许使用 BellY: $(partial^nf(g(x)))/(partialx^n)=sum_(k=1)^nf^((k))(g(x)) TemplateBox[{n, k, {{(, {partial, {g, (, x, )}}, )}, /, {(, {partial, {x, ^, 1}}, )}}, ..., {{(, {{partial, ^, {(, {n, -, k, +, 1}, )}}, {g, (, x, )}}, )}, /, {(, {partial, {x, ^, {(, {n, -, k, +, 1}, )}}}, )}}}, BellY]$ 直接计算的阶导数，对于的较低阶数和符号式和验证这一点：

对于，这变成正态链式法则：

对于，这也称作 Faà di Bruno 公式：

根据此式，可以直接看出，对于中的多项式系数，中的导数是线性的，其中 $TemplateBox[{n, k, {g, ^, {(, ', )}}, ..., {g, ^, {(, {(, {{-, k}, +, n, +, 1}, )}, )}}}, BellY]$ 是的多项式系数. 定义一个排版格式，通过镶嵌贝尔系数，使得这种关系是显而易见的：

前几个一阶导数：

利用 BellY 多项式计算 Gamma 函数的 4 阶导数：

与直接求导数所得的结果比较：

计算一个反函数的级数：

与 InverseSeries 的结果比较：

组合数学 (6)

用贝尔多项式计算第一类斯特灵数：

用贝尔多项式计算第二类斯特灵数：

使用广义贝尔多项式计算贝尔数：

使用广义贝尔多项式计算贝尔多项式 BellB[n,z]：

使用广义贝尔多项式计算卡塔兰数：

有个树叶的层带标签有根树的数量：

与其他公式进行比较：

n 次对称组的循环指数多项式：

与 CycleIndexPolynomial 的结果对比：

n 次级交替组的循环指数多项式：

与 CycleIndexPolynomial 的结果对比：

用贝尔局部多项式求得将一个包含 6 个元素的集合分成两个子集的方法数量：

通过显式递归生成集合分区进行检验：

有 10 种方法可以将一个包含 6 个元素的集合分成两个 3+3 个元素的子集：

有 15 种方法可以将一个包含 6 个元素的集合分成两个 4+2 个元素的子集：

有 6 种方法可以将一个包含 6 个元素的集合分成两个 5+1 个元素的子集：

其他应用 (4)

定义 n 个变量的完整贝尔多项式：

显示前几个完整的贝尔多项式：

用累积量计算第三个原始矩：

用原始矩计算第三个累积量：

构建二项式型多项式序列：

验证定义的恒等：

将 BellB[n,z] 作为特例复原：

第 n 个基本对称多项式可以用 BellY 定义：

在五个变量的情况下，与 SymmetricPolynomial 进行比较：

属性和关系 (6)

使用贝尔局部多项式的和表示法计算部分贝尔多项式：

与 BellY 比较：

使用 Cvijović 的迭代求和公式计算贝尔局部多项式：

与 BellY 进行比较：

贝尔局部多项式的线性组合：

以广义贝尔多项式表示的等价表达式：

矩阵的广义局部贝尔多项式：

这可以用广义贝尔多项式来计算，方法是加入一个单位向量作为列：

矩阵的广义部分贝尔多项式的线性组合，可以通过在矩阵中加入系数列表达为广义贝尔多项式：

对于的第三阶导数的 Faà di Bruno 公式：

证明广义贝尔多项式的逆关系：

巧妙范例 (2)

利用广义贝尔多项式生成伯努力数：

使用广义贝尔多项式生成欧拉数：

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