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BernoulliB[n]

ベルヌーイ(Bernoulli)数 TemplateBox[{n}, BernoulliB]を与える．

BernoulliB[n,x]

ベルヌーイの多項式 TemplateBox[{n, x}, BernoulliB2]を与える．

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BernoulliB

BernoulliB[n]

ベルヌーイ(Bernoulli)数 TemplateBox[{n}, BernoulliB]を与える．

BernoulliB[n,x]

ベルヌーイの多項式 TemplateBox[{n, x}, BernoulliB2]を与える．

詳細

  • 記号操作・数値操作の両方に適した数学関数である．
  • ベルヌーイの多項式は，母関数の関係式 te^(xt)/(e^t-1)=sum_(n=0)^(infty)TemplateBox[{n, x}, BernoulliB2](t^n/n!)を満足させる．
  • ベルヌーイ数は，TemplateBox[{n}, BernoulliB]=TemplateBox[{n, 0}, BernoulliB2]で与えられる．
  • 奇数の については，ベルヌーイ数は TemplateBox[{1}, BernoulliB]=-1/2を除いて0である．
  • BernoulliBは任意の数値精度で評価できる．
  • BernoulliBは自動的にリストに縫い込まれる．

例題

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例  (2)

最初の10個のベルヌーイ数：

Wolfram Language code: Table[BernoulliB[k], {k, 0, 10}]

ベルヌーイ多項式：

Wolfram Language code: Table[BernoulliB[n, z], {n, 0, 5}]

スコープ  (3)

BernoulliBは要素単位でリストに適用される：

Wolfram Language code: BernoulliB[{2, 4, 6}]

ベルヌーイ多項式をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[Evaluate[Table[BernoulliB[k, z], {k, 5}]], {z, 0, 1}]

TraditionalFormによる表示：

Wolfram Language code: BernoulliB[n]//TraditionalForm
Wolfram Language code: BernoulliB[n, x]//TraditionalForm

アプリケーション  (6)

BernoulliBを使ってベキの和 を求める（Faulhaberの公式）：

Wolfram Language code: Table[(1/j + 1)Underoverscript[∑, i = 0, j]Binomial[j + 1, i] BernoulliB[i] (n + 1)^j - i + 1, {j, 1, 4}]//Factor

直接合計したものと比べる：

Wolfram Language code: Table[Underoverscript[∑, k = 1, n]k^j, {j, 4}]

オイラー・マクローリン(Euler–Maclaurin)の積分式を設定する：

Wolfram Language code: Sum[D[Integrate[f[x], x], {x, k}]BernoulliB[k] / k!, {k, 0, 10}]

これを に使う：

Wolfram Language code: With[{r = % /. f -> (# ^ (5 / 3)&)}, (r /. x -> 10) - (r /. x -> 1)]

厳密な総和結果と比べる：

Wolfram Language code: % - NSum[x ^ (5 / 3), {x, 1, 9}]

複素平面でベルヌーイ多項式の根をプロットする：

Wolfram Language code: Graphics[Table[{Hue[n / 40], Point[ReIm[z /. NSolve[BernoulliB[n, z] == 0, z]]]}, {n, 36}]]

ベルヌーイ数が極限形に近付く様子を示す：

Wolfram Language code: ListPlot[Table[Abs[BernoulliB[2n]] (Pi E / n)^2 n + 1 / 2 - 4 Pi Sqrt[E], {n, 1, 100}]]

ベルヌーイ数の分母はフォン・シュタウトとクラウセン(von Staudt–Clausen)の定理で与えられる：

Wolfram Language code: Table[Apply[Times, Select[Divisors[n] + 1, PrimeQ]], {n, 2, 30, 2}]
Wolfram Language code: Table[Denominator[BernoulliB[2n]], {n, 1, 15}]

素数を法とするモジュラ演算でベルヌーイ数を計算する：

Wolfram Language code: mod[e_, p_] := PolynomialMod[e, p]
Wolfram Language code: h[x_, c_, p_] := (mod[x, p] - c mod[x / c, p]/p) + (c - 1/2)
Wolfram Language code: BernoulliModPrime[n_Integer ? EvenQ, p_ ? PrimeQ, c_ : 2] := Quiet[mod[(n/1 - c^n)Underoverscript[∑, x = 1, p - 1]x^n - 1 h[x, c, p], p]]
Wolfram Language code: Table[BernoulliModPrime[10 ^ 2, p], {p, {7, 13, 17, 23, 29, 31}}]
Wolfram Language code: Table[mod[BernoulliB[10 ^ 2], p], {p, {7, 13, 17, 23, 29, 31}}]

特性と関係  (3)

母関数からBernoulliB数を求める：

Wolfram Language code: SeriesCoefficient[t / (Exp[t] - 1), {t, 0, n}, Assumptions -> n ≥ 0]
Wolfram Language code: CoefficientList[(t/Exp[t] - 1) + O[t] ^ 13, t]Table[n!, {n, 0, 12}]

母関数からBernoulliB多項式を求める：

Wolfram Language code: CoefficientList[Series[t Exp[z t] / (Exp[t] - 1), {t, 0, 6}], t]Table[n!, {n, 0, 6}]//Expand
Wolfram Language code: Table[BernoulliB[n, z], {n, 0, 6}]

BernoulliBはDifferenceRootとして表すことができる：

Wolfram Language code: DifferenceRootReduce[BernoulliB[2, k], k]

考えられる問題  (2)

アルゴリズムを使って求められた結果は，BernoulliBではなくZetaを使って表されることが多い：

Wolfram Language code: -(2 n!/(2 π)^n)Underoverscript[∑, k = 1, ∞](1/k^n)Cos[(π n/2)]
Wolfram Language code: Table[%, {n, 2, 10}]
Wolfram Language code: Table[BernoulliB[n], {n, 2, 10}]

慣用形で入力された場合，は自動的にはベルヌーイ数と解釈されない：

Wolfram Language code: Subscript[B, n]

おもしろい例題  (3)

Umbral Calculusでベルヌーイ数からベルヌーイ多項式に移行する：

Wolfram Language code: Expand[(b + x) ^ 12]
Wolfram Language code: % /. b ^ k_. :> BernoulliB[k]
Wolfram Language code: BernoulliB[12, x]

20000番目のベルヌーイ数を1秒以内に計算することができる：

Wolfram Language code: Timing[b20K = BernoulliB[20000];]
Wolfram Language code: Denominator[b20K]
Wolfram Language code: Numerator[b20K]//IntegerLength

成分がベルヌーイ数であるハンケル(Hankel)行列を定義する：

Wolfram Language code: bernoulliHankel[n_] := HankelMatrix[BernoulliB[Range[0, n - 1]], BernoulliB[Range[n - 1, 2n - 2]]]
Wolfram Language code: bernoulliHankel[5]//MatrixForm

その行列式はバーンズ(Barnes)のG関数で表現できる：

Wolfram Language code: Table[Det[bernoulliHankel[n]] == ((-1) ^ Binomial[n, 2]BarnesG[n + 1] ^ 6) / BarnesG[2n + 1], {n, 9}]
Wolfram Research (1988), BernoulliB, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/BernoulliB.html （2008年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (1988), BernoulliB, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/BernoulliB.html （2008年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 1988. "BernoulliB." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2008. https://reference.wolfram.com/language/ref/BernoulliB.html.

APA

Wolfram Language. (1988). BernoulliB. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/BernoulliB.html

BibTeX

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BibLaTeX

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