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BernoulliB[n]

给出伯努利数 TemplateBox[{n}, BernoulliB].

BernoulliB[n,x]

给出伯努利多项式 TemplateBox[{n, x}, BernoulliB2].

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按以下格式引用：

BernoulliB

BernoulliB[n]

给出伯努利数 TemplateBox[{n}, BernoulliB].

BernoulliB[n,x]

给出伯努利多项式 TemplateBox[{n, x}, BernoulliB2].

更多信息

  • 数学函数，同时适合符号和数值运算.
  • 伯努利多项式满足母函数关系 te^(xt)/(e^t-1)=sum_(n=0)^(infty)TemplateBox[{n, x}, BernoulliB2](t^n/n!).
  • 伯努利数由 TemplateBox[{n}, BernoulliB]=TemplateBox[{n, 0}, BernoulliB2] 给定.
  • 对于奇数 ，伯努利数等于 0，但 TemplateBox[{1}, BernoulliB]=-1/2 除外.
  • BernoulliB 可求任意数值精度的值.
  • BernoulliB 自动线性作用于列表.

范例

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基本范例  (2)

前 10 个伯努利数：

Wolfram Language code: Table[BernoulliB[k], {k, 0, 10}]

伯努利多项式：

Wolfram Language code: Table[BernoulliB[n, z], {n, 0, 5}]

范围  (3)

BernoulliB 按元素线性作用于列表：

Wolfram Language code: BernoulliB[{2, 4, 6}]

绘制伯努利多项式曲线：

Wolfram Language code: Plot[Evaluate[Table[BernoulliB[k, z], {k, 5}]], {z, 0, 1}]

TraditionalForm 格式输出：

Wolfram Language code: BernoulliB[n]//TraditionalForm
Wolfram Language code: BernoulliB[n, x]//TraditionalForm

应用  (6)

用 BernoulliB 求幂 的总和：(Faulhaber's formula):

Wolfram Language code: Table[(1/j + 1)Underoverscript[∑, i = 0, j]Binomial[j + 1, i] BernoulliB[i] (n + 1)^j - i + 1, {j, 1, 4}]//Factor

与直接求得的总和作比较：

Wolfram Language code: Table[Underoverscript[∑, k = 1, n]k^j, {j, 4}]

建立一个欧拉—麦克劳林积分公式：

Wolfram Language code: Sum[D[Integrate[f[x], x], {x, k}]BernoulliB[k] / k!, {k, 0, 10}]

将此积分公式用在 上：

Wolfram Language code: With[{r = % /. f -> (# ^ (5 / 3)&)}, (r /. x -> 10) - (r /. x -> 1)]

与求和得到的精确解作比较：

Wolfram Language code: % - NSum[x ^ (5 / 3), {x, 1, 9}]

在复平面上绘制伯努利多项式的根：

Wolfram Language code: Graphics[Table[{Hue[n / 40], Point[ReIm[z /. NSolve[BernoulliB[n, z] == 0, z]]]}, {n, 36}]]

伯努利数趋于极限：

Wolfram Language code: ListPlot[Table[Abs[BernoulliB[2n]] (Pi E / n)^2 n + 1 / 2 - 4 Pi Sqrt[E], {n, 1, 100}]]

伯努利数分母由 von Staudt-Clausen 公式给出：

Wolfram Language code: Table[Apply[Times, Select[Divisors[n] + 1, PrimeQ]], {n, 2, 30, 2}]
Wolfram Language code: Table[Denominator[BernoulliB[2n]], {n, 1, 15}]

用模块化算术模一个素数计算伯努利数：

Wolfram Language code: mod[e_, p_] := PolynomialMod[e, p]
Wolfram Language code: h[x_, c_, p_] := (mod[x, p] - c mod[x / c, p]/p) + (c - 1/2)
Wolfram Language code: BernoulliModPrime[n_Integer ? EvenQ, p_ ? PrimeQ, c_ : 2] := Quiet[mod[(n/1 - c^n)Underoverscript[∑, x = 1, p - 1]x^n - 1 h[x, c, p], p]]
Wolfram Language code: Table[BernoulliModPrime[10 ^ 2, p], {p, {7, 13, 17, 23, 29, 31}}]
Wolfram Language code: Table[mod[BernoulliB[10 ^ 2], p], {p, {7, 13, 17, 23, 29, 31}}]

属性和关系  (3)

由母函数求 BernoulliB 数：

Wolfram Language code: SeriesCoefficient[t / (Exp[t] - 1), {t, 0, n}, Assumptions -> n ≥ 0]
Wolfram Language code: CoefficientList[(t/Exp[t] - 1) + O[t] ^ 13, t]Table[n!, {n, 0, 12}]

由母函数求 BernoulliB 多项式：

Wolfram Language code: CoefficientList[Series[t Exp[z t] / (Exp[t] - 1), {t, 0, 6}], t]Table[n!, {n, 0, 6}]//Expand
Wolfram Language code: Table[BernoulliB[n, z], {n, 0, 6}]

BernoulliB 可被表示为 DifferenceRoot：

Wolfram Language code: DifferenceRootReduce[BernoulliB[2, k], k]

可能存在的问题  (2)

按算法生成的解常常用 Zeta 而非 BernoulliB 表示：

Wolfram Language code: -(2 n!/(2 π)^n)Underoverscript[∑, k = 1, ∞](1/k^n)Cos[(π n/2)]
Wolfram Language code: Table[%, {n, 2, 10}]
Wolfram Language code: Table[BernoulliB[n], {n, 2, 10}]

若按传统形式输入 ，则不会被自动解译为伯努利数：

Wolfram Language code: Subscript[B, n]

巧妙范例  (3)

从伯努利数转换为有哑微积的伯努利多项式：

Wolfram Language code: Expand[(b + x) ^ 12]
Wolfram Language code: % /. b ^ k_. :> BernoulliB[k]
Wolfram Language code: BernoulliB[12, x]

可以在一秒钟内计算出第 20000 个伯努利数：

Wolfram Language code: Timing[b20K = BernoulliB[20000];]
Wolfram Language code: Denominator[b20K]
Wolfram Language code: Numerator[b20K]//IntegerLength

定义一个汉克尔矩阵，其项为伯努利数：

Wolfram Language code: bernoulliHankel[n_] := HankelMatrix[BernoulliB[Range[0, n - 1]], BernoulliB[Range[n - 1, 2n - 2]]]
Wolfram Language code: bernoulliHankel[5]//MatrixForm

其行列式可以用巴尼斯G函数来表示：

Wolfram Language code: Table[Det[bernoulliHankel[n]] == ((-1) ^ Binomial[n, 2]BarnesG[n + 1] ^ 6) / BarnesG[2n + 1], {n, 9}]
Wolfram Research (1988)，BernoulliB，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/BernoulliB.html （更新于 2008 年）.

文本

Wolfram Research (1988)，BernoulliB，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/BernoulliB.html （更新于 2008 年）.

CMS

Wolfram 语言. 1988. "BernoulliB." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2008. https://reference.wolfram.com/language/ref/BernoulliB.html.

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Wolfram 语言. (1988). BernoulliB. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/BernoulliB.html 年

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BibLaTeX

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