Binomial
Binomial[n,m]
gives the binomial coefficient .
更多信息

- 整数数学函数,适于符号和数值运算.
- Binomial 也称为组合,或称为选择函数.
- Binomial 给出负整数
的对称系数. 使用 PascalBinomial 可以得到对所有整数值都保持帕斯卡恒等(Pascal's identity)的系数。除了负整数
的情况外,Binomial 和 PascalBinomial 是一致的.
- 通常,
由
或适当的极限定义.
- 当
为负整数时,
. »
- 对于所有复数
和
,所选的特定极限保留了对称规则
. »
- 几乎所有
和
都满足帕斯卡恒等
,但
的情况除外. »
- 对于整数和一些其它特殊参数,Binomial 自动运算出精确值.
- 对简单的情形,自动对 Binomial 进行符号求值;其它情形则由 FunctionExpand 给出结果. »
- Binomial 可求任意数值精度的值.
- Binomial 自动逐项作用于列表的各个元素.
- Binomial 可与 Interval 和 CenteredInterval 对象一起使用. »
背景
- Binomial 表示一个二项式系数函数,返回
和
的二项式系数
. 对于非负整数
和
,二项式系数为
,其中
是 Factorial 函数. 通过对称,
. 二项式系数在概率论和组合学中很重要,有时被表示为
- 对于非负整数
和
,二项式系数
给出包含在集合
中长度为
的子集数. 这也是从前
个正整数选择
个元素(没有替代和忽略排序)的不同方法数,因此,它常被称之为 "
选择
".
- 二项式系数位于二项式公式的心脏,它表明对于任何非负整数
,
. 这种二项式系数的诠释与概率论的二项分布相关,通过 BinomialDistribution 实现. 另一个重要应用是在称之为帕斯卡规则的组合恒等式中,它与根据
带有移位参数的二项系数有关.
- 将阶乘表示为伽马函数将二项式系数用
推广为复数
和
. 对整数
和
以及复数
使用对称公式
,允许二项系数的定义延伸至负整数参数,使其对于所有整数参数以及复数参数是连续的,除了负整数
和非整数
(这种情况下是无穷). 负数
和整数
的定义在
时由
给出,在
时由
给出,否则为 0,这与二项式定理和大多数组合恒等式一致(有一些特殊例外).
- 二项式系数通过多项式系数来推广. Multinomial 返回给定数 n1,…,nk 加
的多项式系数 (n;n1,…,nk),其中
. 二项式系数
是多项式系数 (n;k,n-k).
范例
打开所有单元关闭所有单元范围 (35)
数值运算 (7)
用 Interval 和 CenteredInterval 对象计算最坏情况下的区间:
或用 Around 计算一般情况下的统计区间:
或用 MatrixFunction 计算矩阵形式的 Binomial 函数:
特殊值 (4)
函数属性 (12)
推广和延伸 (2)
应用 (11)
属性和关系 (11)
整数情况下,Binomial[n,m] 等于 :
PascalBinomial 在包括原点在内的任何地方都满足恒等:
PascalBinomial 对符号参数进行简单的运算:
使用带条件的 FunctionExpand 来实现适当的化简:
用 FullSimplify 简化含有二项式系数的表达式:
用 FunctionExpand 将二项式系数展开为 Gamma 函数:
含有 Binomial 的求和:
求母函数 Binomial:
Binomial 可被表示为 DifferenceRoot:
Binomial 的母函数:
Binomial 的指数母函数:
可能存在的问题 (3)
巧妙范例 (7)
构建帕斯卡三角形(Pascal's triangle)的图形版本:
相比之下,在输入均为负数的情况下,PascalBinomial 导致左上角的扇形区域为零:
绘制无穷处的 Binomial:
绘制自变量为复数的 Binomial :
绘制自变量为高斯整数的 Binomial:
文本
Wolfram Research (1988),Binomial,Wolfram 语言函数,https://reference.wolfram.com/language/ref/Binomial.html.
CMS
Wolfram 语言. 1988. "Binomial." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/Binomial.html.
APA
Wolfram 语言. (1988). Binomial. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/Binomial.html 年