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CaputoD

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CaputoD

CaputoD[f,{x,α}]

给出函数的卡普托分数阶积分 .

更多信息和选项

CaputoD 也称为 f 的卡普托分数导数微分.
CaputoD 将 D 推广到分数阶，并统一了微积分的导数和积分的概念.
CaputoD 在使用分数微分方程的初始值问题来建模系统方面已经有广泛应用.
的阶卡普托分数导数的定义为，其中 .
分数阶导数在整数阶导数之间进行“插值”，如下例所示，函数的阶分数导数由 $2/TemplateBox[{{3, -, alpha}}, Gamma] x^(2-alpha)$ 给出，其中：

卡普托分数导数通过公式与 FractionalD（黎曼-刘维尔分数导数）相连接.
分数导数的阶 α 可以是符号数或任意实数.
CaputoD[{array},{x,α}] 将 CaputoD 遍历 array 的各个元素.
CaputoD 对输入函数的参数采取不同的 Assumptions.
所有表达式，只要不显式依赖给定变量，都被解释为常量.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (4)

计算二次函数关于 x 的半阶卡普托分数导数：

二次函数关于 x 的任意阶卡普托分数导数：

绘制不同时的分数导数：

对于大于零，常数关于 x 的卡普托分数导数为 0：

MittagLefflerE 的卡普托分数导数：

范围 (4)

Exp 函数关于 x 的卡普托分数导数：

Sin 函数关于 x 的卡普托分数导数：

这个表达式可以进一步化简：

某些 BesselJ 函数的卡普托分数导数：

CaputoD 函数的一般形式的拉普拉斯变换：

将公式应用于 Sin：

将 LaplaceTransform 应用于 Sin 的 CaputoD 得到相同的结果：

选项 (1)

Assumptions (1)

CaputoD 可能返回 ConditionalExpression：

使用 Assumptions 限制参数将简化输出：

应用 (8)

计算三次函数的半阶卡普托分数导数：

重复半阶卡普托分数导数，得到三次函数的常导数：

使用卡普托分数积分运算恢复初始函数：

求解包含半阶卡普托导数的分数导数方程：

添加一个初始条件：

绘制该解的图形：

求解分数微分方程：

绘制解的图形：

求解一个混合分数阶微分积分方程：

求解包含两个不同阶卡普托导数的分数微分方程：

求解由两个分数微分方程组成的方程组，包括函数的 CaputoD 分数导数：

验证解：

此解的参数图：

求解向量形式的由两个分数微分方程组成的方程组：

绘制解的图形：

以参数方式绘制解的图形：

求解向量形式的由三个分数微分方程组成的方程组：

绘制解的图形：

以参数方式绘制解的图形：

属性和关系 (7)

CaputoD 对于全体实数有定义：

0 阶卡普托分数导数是函数本身：

CaputoD 对于复数阶没有定义：

对于正分数阶，常数的卡普托分数导数为 0：

而一般规则是：

对于所有负数阶，CaputoD 与 FractionalD 一致：

与 FractionalD 的输出比较：

将阶数限制为负值，CaputoD 将自动生成 FractionalD 输出：

计算一个函数在某点的卡普托分数导数：

使用 NCaputoD 函数可以加快数值计算：

可能存在的问题 (1)

CaputoD 分数导数可能对某些分数阶数没有定义：

对于其他分数阶数该函数有定义：

巧妙范例 (1)

为一些特殊函数创建一个半阶卡普托分数导数表：

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