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Catalan

是 Catalan 常数，数值 .

更多信息

数学常数，被 NumericQ 作为数值来处理，而被 D 作为常数来处理.
Catalan 利用 N 可以被计算到任意的数值精度.
Catalan 常数由和式给出.

背景

Catalan 是表示被称为卡塔兰常数的数学常数的符号. Catalan 被定义为奇数平方倒数的无穷交错求和，它的数值 . Catalan 通常出现在组合函数估计以及某些类别的求和与定积分中. Catalan 也出现在像 DirichletBeta、Zeta 和 PolyLog 这样的特殊函数的特定值中.
当 Catalan 作为符号使用时，它被当作精确值散播. 展开和化简包含 Catalan 的复杂表达式可能需要使用像 FunctionExpand 和 FullSimplify 这样的函数.
现在还不知道 Catalan 是否是有理数（意味着它可被表示为两个整数之比），是否是代数数（意味着它是整系数多项式的根），是否是某些底的正规数（意味着以为底的记数法下的各位数字是均匀分布的）.
Catalan 可以用 N 通过快速收敛的 Zeilberger 型求和算法求值到任意数值精度. 事实上，计算 Catalan 的前十万位小数在现代桌面计算机上耗时还不到一秒. RealDigits 可被用于返回 Catalan 各位数字的列表而 ContinuedFraction 可被用于取得其连分数展开的各项.

范例

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基本范例 (1)

计算至高精度：

范围 (2)

用于精确的数值计算：

TraditionalForm 格式化：

应用 (3)

按十进制给出 Catalan 的前 20 位数字：

按十进制给出 Catalan 的 1000 位以后的 20 位数字：

互素的高斯整数的出现频率：

同精确的渐近结果相比较：

属性和关系 (2)

各种符号关系被自动地利用：

很多数学函数和运算给出包含 Catalan 的结果：

可能存在的问题 (1)

目前还不知道 Catalan 是否一个代数数：

巧妙范例 (3)

绘制一个对应于 Catalan 的二进制数字的随机游动：

连分数中的项：

包含 Catalan 的 Weyl‐型和：

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