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CentralMomentGeneratingFunction[dist,t]

分布 dist の中心モーメント母関数を変数 t の関数として与える．

CentralMomentGeneratingFunction[dist,{t1,t2,…}]

多変量分布 dist の中心モーメント母関数を変数 t1, t2, … の関数として与える．

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CentralMomentGeneratingFunction

CentralMomentGeneratingFunction[dist,t]

分布 dist の中心モーメント母関数を変数 t の関数として与える．

CentralMomentGeneratingFunction[dist,{t1,t2,…}]

多変量分布 dist の中心モーメント母関数を変数 t1, t2, … の関数として与える．

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例題

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例  (3)

一変量連続分布の中心モーメント母関数：

Wolfram Language code: CentralMomentGeneratingFunction[NormalDistribution[μ, σ], t]

一変量離散分布の中心モーメント母関数：

Wolfram Language code: CentralMomentGeneratingFunction[PoissonDistribution[μ], t]

多変量分布の中心モーメント母関数：

Wolfram Language code: CentralMomentGeneratingFunction[BinormalDistribution[ρ], {t1, t2}]

スコープ  (5)

定式化されている分布の中心モーメント母関数：

Wolfram Language code: CentralMomentGeneratingFunction[ProbabilityDistribution[(2 (1 + x) E^-x/3 Sqrt[x] Sqrt[π]), {x, 0, ∞}], t]

確率変量の関数の中心モーメント母関数を求める：

Wolfram Language code: CentralMomentGeneratingFunction[TransformedDistribution[x y, {xExponentialDistribution[Subscript[λ, 1]], yExponentialDistribution[Subscript[λ, 2]]}], t]

データ分布の中心モーメント母関数を求める：

Wolfram Language code: hdist = HistogramDistribution[ExampleData[{"Statistics", "FatigueLifeFailures"}]]
Wolfram Language code: cmgf = CentralMomentGeneratingFunction[hdist, t]

打切り分布の中心モーメント母関数を求める：

Wolfram Language code: CentralMomentGeneratingFunction[CensoredDistribution[{-3, 3}, NormalDistribution[]], t]

ランダム過程のスライス分布についての中心モーメント母関数を求める：

Wolfram Language code: CentralMomentGeneratingFunction[PoissonProcess[μ][s], t]

アプリケーション  (3)

確率変量の総和の中心モーメント母関数を求める：

Wolfram Language code: CentralMomentGeneratingFunction[TransformedDistribution[x + y, {xErlangDistribution[2, Subscript[λ, 1]], yErlangDistribution[3, Subscript[λ, 2]]}], t]

あるいは，加数の中心モーメント母関数の積を計算する：

Wolfram Language code: CentralMomentGeneratingFunction[ErlangDistribution[2, Subscript[λ, 1]], t]CentralMomentGeneratingFunction[ErlangDistribution[3, Subscript[λ, 2]], t]

のとき，それはErlangDistributionの中心モーメント母関数と一致する：

Wolfram Language code: % /. {Subscript[λ, 2] -> Subscript[λ, 1]}

TransformedDistributionで確かめる：

Wolfram Language code: TransformedDistribution[x + y, {xErlangDistribution[2, a], yErlangDistribution[3, a]}]

独立同分布に従う 個の非心 確率変量の中心モーメントを最初からいくつか求める：

Wolfram Language code: cmgf = CentralMomentGeneratingFunction[NoncentralChiSquareDistribution[ν, δ], t]^n
Wolfram Language code: Table[Limit[D[cmg, {t, k}], t -> 0], {k, 2, 4}]

ExponentialDistributionを使って中心極限定理を説明する：

Wolfram Language code: dist = ExponentialDistribution[λ];

分散が になるように再スケールされた指数変量の中心モーメント母関数を求める：

Wolfram Language code: CentralMomentGeneratingFunction[TransformedDistribution[x / Sqrt[n Variance[dist]], xdist], t]

個のそのような変量の総和の中心モーメント母関数の大きい 極限を求める：

Wolfram Language code: Limit[% ^ n, n -> Infinity]

標準正規変量の中心モーメント母関数と比較する：

Wolfram Language code: CentralMomentGeneratingFunction[NormalDistribution[], t]

特性と関係  (3)

中心モーメント母関数はモーメント母関数にを掛けたものである：

Wolfram Language code: 𝒟 = ExponentialDistribution[λ];
Wolfram Language code: CentralMomentGeneratingFunction[𝒟, t]
Wolfram Language code: MomentGeneratingFunction[𝒟, t]Exp[-t Mean[𝒟]]

SeriesCoefficientを使って中心モーメント を求める：

Wolfram Language code: SeriesCoefficient[CentralMomentGeneratingFunction[BetaDistribution[2, 3], t]r!, {t, 0, r}]//Simplify

CentralMomentと比較する：

Wolfram Language code: CentralMoment[BetaDistribution[2, 3], r]
Wolfram Language code: Table[% == %%, {r, 0, 6}]

CentralMomentGeneratingFunctionは一連の中心モーメントの指数型母関数である：

Wolfram Language code: ExponentialGeneratingFunction[CentralMoment[ExponentialDistribution[a], r], r, t]
Wolfram Language code: CentralMomentGeneratingFunction[ExponentialDistribution[a], t]
Wolfram Language code: % - %%//FullSimplify

考えられる問題  (2)

裾部の長い分布の中には低い次数の中心モーメントがいくつか定義できるだけのものもある：

Wolfram Language code: CentralMoment[StudentTDistribution[n], r]

それに相応して，CentralMomentGeneratingFunctionも未定義である：

Wolfram Language code: CentralMomentGeneratingFunction[StudentTDistribution[n], t]

CentralMomentGeneratingFunctionは閉形式では常に既知である訳ではない：

Wolfram Language code: CentralMomentGeneratingFunction[LogNormalDistribution[μ, σ], t]

CentralMomentを使って特定の中心モーメントを評価する：

Wolfram Language code: CentralMoment[LogNormalDistribution[μ, σ], 3]

おもしろい例題  (1)

一変量分布について中心モーメント母関数を複素平面上で可視化する：

Wolfram Language code: dists = {NegativeBinomialDistribution[10, 2 / 3], PoissonDistribution[3], BorelTannerDistribution[5 / 6, 10], ExponentialDistribution[1], BirnbaumSaundersDistribution[1, 3], HyperbolicDistribution[2, 1, 1, 2]};
Wolfram Language code: Table[Plot3D[Re[CentralMomentGeneratingFunction[𝒟, x + I y]]//Evaluate, {x, -2, 2}, {y, -4, 4}, Mesh -> None, ImageSize -> 200, PlotLabel -> 𝒟], {𝒟, dists}]
Wolfram Research (2010), CentralMomentGeneratingFunction, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/CentralMomentGeneratingFunction.html.

テキスト

Wolfram Research (2010), CentralMomentGeneratingFunction, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/CentralMomentGeneratingFunction.html.

CMS

Wolfram Language. 2010. "CentralMomentGeneratingFunction." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/CentralMomentGeneratingFunction.html.

APA

Wolfram Language. (2010). CentralMomentGeneratingFunction. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/CentralMomentGeneratingFunction.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_centralmomentgeneratingfunction, author="Wolfram Research", title="{CentralMomentGeneratingFunction}", year="2010", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/CentralMomentGeneratingFunction.html}", note=[Accessed: 13-August-2026]}

BibLaTeX

@online{reference.wolfram_2026_centralmomentgeneratingfunction, organization={Wolfram Research}, title={CentralMomentGeneratingFunction}, year={2010}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/CentralMomentGeneratingFunction.html}, note=[Accessed: 13-August-2026]}